1774. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Iz druge (linearne) jednačine izražavamo jednu nepoznatu preko druge. Najlakše je izraziti $x .$

x = 7 - 2y

Zamenjujemo izraz za $x$ u prvu jednačinu sistema:

((7 - 2y) - 1)(y - 3) = -2

Sređujemo izraz unutar prve zagrade:

(6 - 2y)(y - 3) = -2

Množimo zagrade (svaki član sa svakim):

6y - 18 - 2y^2 + 6y = -2

Sređujemo kvadratnu jednačinu po $y$ i prebacujemo sve članove na jednu stranu:

-2y^2 + 12y - 18 + 2 = 0 \\ -2y^2 + 12y - 16 = 0

Delimo celu jednačinu sa $-2$ radi lakšeg računanja:

y^2 - 6y + 8 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu:

y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}

Računamo diskriminantu i vrednosti za $y :$

y_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}

Dobijamo dva rešenja za $y :$

y_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4, \quad y_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2

Sada računamo odgovarajuće vrednosti za $x$ koristeći ranije izvedenu formulu $x = 7 - 2y :$

\begin{aligned} &\text{Za } y_1 = 4: x_1 = 7 - 2(4) = 7 - 8 = -1 \\ &\text{Za } y_2 = 2: x_2 = 7 - 2(2) = 7 - 4 = 3 \end{aligned}

Rešenja sistema su uređeni parovi $(x, y) :$

(x_1, y_1) = (-1, 4), \quad (x_2, y_2) = (3, 2)

321.v