1779.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Rešiti sledeći sistem kvadratnih jednačina:

{x2+y2=25x2+2y2=41\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 + 2y^2 = 41 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Najlakši način za rešavanje ovog sistema je metoda suprotnih koeficijenata. Pomnožićemo prvu jednačinu sa −1 -1 kako bismo eliminisali promenljivu x2. x^2 .

{−x2−y2=−25x2+2y2=41\begin{cases} -x^2 - y^2 = -25 \\ x^2 + 2y^2 = 41 \end{cases}

Saberemo ove dve jednačine:

(−x2+x2)+(−y2+2y2)=−25+41(-x^2 + x^2) + (-y^2 + 2y^2) = -25 + 41

Sređivanjem dobijamo vrednost za y2: y^2 :

y2=16y^2 = 16

Korenujemo jednačinu da bismo dobili moguće vrednosti za y: y :

y=±16  ⟹  y1=4,y2=−4y = \pm \sqrt{16} \implies y_1 = 4, \quad y_2 = -4

Sada uvrštavamo dobijene vrednosti u prvu polaznu jednačinu x2+y2=25 x^2 + y^2 = 25 da bismo našli x. x . Primetimo da će i za y=4 y=4 i za y=−4 y=-4 vrednost y2 y^2 biti ista.

x2+16=25x^2 + 16 = 25

Računamo x2: x^2 :

x2=25−16x2=9x^2 = 25 - 16 \\ x^2 = 9

Korenujemo jednačinu da bismo dobili moguće vrednosti za x: x :

x=±9  ⟹  x1=3,x2=−3x = \pm \sqrt{9} \implies x_1 = 3, \quad x_2 = -3

Kombinovanjem svih vrednosti dobijamo četiri rešenja sistema u obliku uređenih parova (x,y): (x, y) :

(3,4),(3,−4),(−3,4),(−3,−4)(3, 4), (3, -4), (-3, 4), (-3, -4)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti