1773. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Iz druge (linearne) jednačine izražavamo jednu nepoznatu preko druge. Najjednostavnije je izraziti $y .$

y = 1 - 2x

Sada zamenjujemo izraz za $y$ u prvu (kvadratnu) jednačinu sistema.

x^2 + 3x(1 - 2x) + 2(1 - 2x)^2 - 4x - (1 - 2x) + 1 = 0

Sređujemo dobijenu jednačinu po $x .$ Prvo kvadriramo binom i oslobađamo se zagrada.

x^2 + 3x - 6x^2 + 2(1 - 4x + 4x^2) - 4x - 1 + 2x + 1 = 0

Nastavljamo sa sređivanjem izraza.

x^2 + 3x - 6x^2 + 2 - 8x + 8x^2 - 4x - 1 + 2x + 1 = 0

Grupišemo članove uz $x^2 ,$ $x$ i slobodne članove.

(1 - 6 + 8)x^2 + (3 - 8 - 4 + 2)x + (2 - 1 + 1) = 0

Dobijamo kvadratnu jednačinu po $x :$

3x^2 - 7x + 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu za korene kvadratne jednačine.

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}

Računamo vrednost diskriminante i korena.

x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{7 \pm 5}{6}

Dobijamo dve vrednosti za $x :$

x_1 = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2, \quad x_2 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Sada računamo odgovarajuće vrednosti za $y$ koristeći ranije izvedenu vezu $y = 1 - 2x .$

\begin{aligned} &\text{Za } x_1 = 2: y_1 = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3 \\ &\text{Za } x_2 = \frac{1}{3}: y_2 = 1 - 2\left(\frac{1}{3}\right) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \end{aligned}

Rešenja sistema su uređeni parovi $(x, y) :$

(x_1, y_1) = (2, -3), \quad (x_2, y_2) = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)

320.a