1778. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Iz druge (linearne) jednačine izražavamo jednu nepoznatu preko druge. Izrazimo $y$ preko $x :$

y = 5 - x

Sada zamenjujemo dobijeni izraz za $y$ u prvu jednačinu sistema:

x^2 - x(5 - x) + (5 - x)^2 = 7

Sređujemo dobijenu jednačinu po $x .$ Prvo se oslobađamo zagrada:

x^2 - (5x - x^2) + (25 - 10x + x^2) = 7

Uklanjamo preostale zagrade i grupišemo članove:

x^2 - 5x + x^2 + 25 - 10x + x^2 = 7

Sabiramo slične članove i prebacujemo sve na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

3x^2 - 15x + 25 - 7 = 0 \\ 3x^2 - 15x + 18 = 0

Delimo celu jednačinu sa 3 radi lakšeg računanja:

x^2 - 5x + 6 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu pomoću formule:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}

Računamo diskriminantu i vrednosti za $x :$

x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}

Dobijamo dva rešenja za $x :$

x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2

Sada računamo odgovarajuće vrednosti za $y$ koristeći vezu $y = 5 - x :$

\text{Za } x_1 = 3: y_1 = 5 - 3 = 2 \\ \text{Za } x_2 = 2: y_2 = 5 - 2 = 3

Rešenja sistema su uređeni parovi:

(x, y) \in \{(3, 2), (2, 3)\}

1778.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate