Sistem sa homogenom jednačinom drugog stepena

Prva jednačina $x^2 - 3xy + 2y^2 = 0$ je homogena jednačina drugog stepena. Rešavamo je po $x$ (ili deljenjem sa $y^2$ ) kako bismo izrazili jednu promenljivu preko druge. Posmatrajmo je kao kvadratnu jednačinu po $x :$

x_{1,2} = \frac{3y \pm \sqrt{(-3y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2y^2}}{2} = \frac{3y \pm \sqrt{9y^2 - 8y^2}}{2}

Sređivanjem izraza dobijamo dva moguća rešenja za $x$ u zavisnosti od $y :$

x_{1,2} = \frac{3y \pm y}{2} \implies x_1 = 2y, \quad x_2 = y

Sada sistem delimo na dva slučaja. Prvi slučaj je kada je $x = 2y .$ Zamenjujemo ovo u drugu jednačinu sistema:

(2y)^2 - 3(2y) - y + 3 = 0

Sređujemo dobijenu kvadratnu jednačinu po $y :$

4y^2 - 6y - y + 3 = 0 \implies 4y^2 - 7y + 3 = 0

Računamo rešenja za $y$ koristeći kvadratnu formulu:

y_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{8} = \frac{7 \pm 1}{8} \implies y_1 = 1, \quad y_2 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}

Vraćamo vrednosti $y$ u izraz $x = 2y$ da nađemo odgovarajuće vrednosti $x :$

\text{Za } y_1 = 1 \implies x_1 = 2 \cdot 1 = 2 \\ \text{Za } y_2 = \frac{3}{4} \implies x_2 = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}

Drugi slučaj je kada je $x = y .$ Zamenjujemo ovo u drugu jednačinu sistema:

y^2 - 3y - y + 3 = 0 \implies y^2 - 4y + 3 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $y :$

y_{3,4} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \implies y_3 = 3, \quad y_4 = 1

Vraćamo vrednosti $y$ u izraz $x = y$ da nađemo odgovarajuće vrednosti $x :$

\text{Za } y_3 = 3 \implies x_3 = 3 \\ \text{Za } y_4 = 1 \implies x_4 = 1

Konačna rešenja sistema su uređeni parovi $(x, y) :$

(2, 1), \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{4}\right), (3, 3), (1, 1)

Započni učenje

Privatni časovi

329.v

Beleške