Presek dve parabole: geometrijska interpretacija

Prvo ćemo izraziti $y$ iz obe jednačine kako bismo lakše uočili o kojim se krivama radi i pripremili sistem za rešavanje metodom zamene ili suprotnih koeficijenata.

\begin{cases} y = x^2 - 6 \\ y = -x^2 + 4x \end{cases}

Geometrijska interpretacija: Prva jednačina predstavlja parabolu okrenutu otvorom nagore sa temenom na y-osi, dok druga jednačina predstavlja parabolu okrenutu otvorom nadole. Rešenja sistema su tačke preseka ove dve krive. Izjednačavamo desne strane jednačina:

x^2 - 6 = -x^2 + 4x

Sređujemo kvadratnu jednačinu prebacivanjem svih članova na levu stranu:

2x^2 - 4x - 6 = 0

Delimo celu jednačinu sa 2 radi jednostavnijeg računa:

x^2 - 2x - 3 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule:

x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}

Dobijamo dve vrednosti za $x :$

x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1

Sada računamo odgovarajuće vrednosti za $y$ uvrštavanjem u prvu jednačinu $y = x^2 - 6 :$

\text{Za } x_1 = 3: y_1 = 3^2 - 6 = 9 - 6 = 3 \\ \text{Za } x_2 = -1: y_2 = (-1)^2 - 6 = 1 - 6 = -5

Rešenja sistema su uređeni parovi koji predstavljaju tačke preseka dve parabole:

(x_1, y_1) = (3, 3), \quad (x_2, y_2) = (-1, -5)

Započni učenje

Privatni časovi

317.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci