1759.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina i dati odgovarajuću geometrijsku interpretaciju:

{x2−y−6=0x2+y−4x=0\begin{cases} x^2 - y - 6 = 0 \\ x^2 + y - 4x = 0 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo izraziti y y iz obe jednačine kako bismo lakše uočili o kojim se krivama radi i pripremili sistem za rešavanje metodom zamene ili suprotnih koeficijenata.

{y=x2−6y=−x2+4x\begin{cases} y = x^2 - 6 \\ y = -x^2 + 4x \end{cases}

Geometrijska interpretacija: Prva jednačina predstavlja parabolu okrenutu otvorom nagore sa temenom na y-osi, dok druga jednačina predstavlja parabolu okrenutu otvorom nadole. Rešenja sistema su tačke preseka ove dve krive. Izjednačavamo desne strane jednačina:

x2−6=−x2+4xx^2 - 6 = -x^2 + 4x

Sređujemo kvadratnu jednačinu prebacivanjem svih članova na levu stranu:

2x2−4x−6=02x^2 - 4x - 6 = 0

Delimo celu jednačinu sa 2 radi jednostavnijeg računa:

x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule:

x1,2=−(−2)±(−2)2−4⋅1⋅(−3)2⋅1=2±4+122=2±42x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}

Dobijamo dve vrednosti za x: x :

x1=2+42=3,x2=2−42=−1x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1

Sada računamo odgovarajuće vrednosti za y y uvrštavanjem u prvu jednačinu y=x2−6: y = x^2 - 6 :

Za x1=3:y1=32−6=9−6=3Za x2=−1:y2=(−1)2−6=1−6=−5\text{Za } x_1 = 3: y_1 = 3^2 - 6 = 9 - 6 = 3 \\ \text{Za } x_2 = -1: y_2 = (-1)^2 - 6 = 1 - 6 = -5

Rešenja sistema su uređeni parovi koji predstavljaju tačke preseka dve parabole:

(x1,y1)=(3,3),(x2,y2)=(−1,−5)(x_1, y_1) = (3, 3), \quad (x_2, y_2) = (-1, -5)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti