1762.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem kvadratnih jednačina:

{x2+y2=2a2xy=−a2,a∈R\begin{cases} x^2 + y^2 = 2a^2 \\ xy = -a^2 \end{cases}, \quad a \in \mathbf{R}
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da prva jednačina sadrži zbir kvadrata x2+y2. x^2 + y^2 . Možemo iskoristiti identitet za kvadrat zbira: (x+y)2=x2+2xy+y2. (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 . Da bismo dobili ovaj izraz, pomnožićemo drugu jednačinu sa 2 i dodati je prvoj.

{x2+y2=2a22xy=−2a2\begin{cases} x^2 + y^2 = 2a^2 \\ 2xy = -2a^2 \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine dobijamo:

x2+2xy+y2=2a2+(−2a2)(x+y)2=0x^2 + 2xy + y^2 = 2a^2 + (-2a^2) \\ (x+y)^2 = 0

Iz jednačine (x+y)2=0 (x+y)^2 = 0 sledi:

x+y=0  ⟹  y=−xx + y = 0 \implies y = -x

Sada zamenimo y=−x y = -x u drugu jednačinu sistema xy=−a2: xy = -a^2 :

x(−x)=−a2−x2=−a2x2=a2x(-x) = -a^2 \\ -x^2 = -a^2 \\ x^2 = a^2

Rešavanjem jednačine x2=a2 x^2 = a^2 dobijamo dve mogućnosti za x: x :

x1=a,x2=−ax_1 = a, \quad x_2 = -a

Sada računamo odgovarajuće vrednosti za y y koristeći relaciju y=−x: y = -x :

Za x1=a  ⟹  y1=−aZa x2=−a  ⟹  y2=−(−a)=a\text{Za } x_1 = a \implies y_1 = -a \\ \text{Za } x_2 = -a \implies y_2 = -(-a) = a

Rešenja sistema su uređeni parovi (x,y): (x, y) :

(x,y)∈{(a,−a),(−a,a)}(x, y) \in \{(a, -a), (-a, a)\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti