Sistem sa parametrom a: zbir kvadrata i proizvod

Primetimo da prva jednačina sadrži zbir kvadrata $x^2 + y^2 .$ Možemo iskoristiti identitet za kvadrat zbira: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 .$ Da bismo dobili ovaj izraz, pomnožićemo drugu jednačinu sa 2 i dodati je prvoj.

\begin{cases} x^2 + y^2 = 2a^2 \\ 2xy = -2a^2 \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine dobijamo:

x^2 + 2xy + y^2 = 2a^2 + (-2a^2) \\ (x+y)^2 = 0

Iz jednačine $(x+y)^2 = 0$ sledi:

x + y = 0 \implies y = -x

Sada zamenimo $y = -x$ u drugu jednačinu sistema $xy = -a^2 :$

x(-x) = -a^2 \\ -x^2 = -a^2 \\ x^2 = a^2

Rešavanjem jednačine $x^2 = a^2$ dobijamo dve mogućnosti za $x :$

x_1 = a, \quad x_2 = -a

Sada računamo odgovarajuće vrednosti za $y$ koristeći relaciju $y = -x :$

\text{Za } x_1 = a \implies y_1 = -a \\ \text{Za } x_2 = -a \implies y_2 = -(-a) = a

Rešenja sistema su uređeni parovi $(x, y) :$

(x, y) \in \{(a, -a), (-a, a)\}

Započni učenje

Privatni časovi

328.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci