PrethodniSledeći
1858.

361.v

TEKST ZADATKA

Dokazati da sledeća jednačina nema rešenja: x2−1+1−x2=1 \sqrt{x^2-1} + \sqrt{1-x^2} = 1

REŠENJE ZADATKA

Prvi korak u rešavanju jednačina sa korenima je određivanje domena definisanosti. Potkorena veličina mora biti nenegativna za svaki koren u jednačini.

{x2−1≥01−x2≥0\begin{cases} x^2 - 1 \ge 0 \\ 1 - x^2 \ge 0 \end{cases}
x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1)
x∈(−1,1)x \in (-1, 1)
x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
x−1x-1
−-
−-
++
x+1x+1
−-
++
++
x2−1x^2-1
++
−-
++

Iz tabele vidimo da je x2−1≥0 x^2 - 1 \ge 0 za:

x∈(−∞,−1]∪[1,+∞)x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)

Sada rešavamo drugu nejednačinu 1−x2≥0. 1 - x^2 \ge 0 . Ovo je ekvivalentno sa x2≤1. x^2 \le 1 .

x2≤1  ⟹  x∈[−1,1]x^2 \le 1 \implies x \in [-1, 1]

Domen jednačine je presek rešenja ove dve nejednačine. Tražimo vrednosti koje zadovoljavaju oba uslova istovremeno.

D=((−∞,−1]∪[1,+∞))∩[−1,1]D = ((-\infty, -1] \cup [1, +\infty)) \cap [-1, 1]

Jedine vrednosti koje pripadaju oba skupa su tačke −1 -1 i 1. 1 . Dakle, domen se sastoji od samo dva broja.

D={−1,1}D = \{-1, 1\}

Proveravamo da li su ove vrednosti rešenja polazne jednačine zamenom u izraz.

Za x=1: x = 1 :

12−1+1−12=0+0=0≠1\sqrt{1^2-1} + \sqrt{1-1^2} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0 \neq 1

Za x=−1: x = -1 :

(−1)2−1+1−(−1)2=0+0=0≠1\sqrt{(-1)^2-1} + \sqrt{1-(-1)^2} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0 \neq 1

Pošto nijedna vrednost iz domena ne zadovoljava jednačinu, zaključujemo da jednačina nema rešenja.

x∈∅x \in \emptyset

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu