Radijani i stepeni

U svakodnevnom životu uglove merimo u stepenima: prav ugao je $90°$ , puni krug $360°$ . To je praktično i intuitivno, ali nije jedini način.

U matematici, posebno u trigonometriji i analizi, koristi se i druga jedinica: radijan. Radijani ne zamenjuju stepene, već opisuju uglove kroz dužine lukova. Jedan radijan je ugao koji odgovara luku čija je dužina jednaka poluprečniku kruga.

Stepeni su bliski svakodnevnoj intuiciji, a radijani su matematički prirodniji i olakšavaju rad s formulama, posebno kod izvoda i integrala trigonometrijskih funkcija. U ovoj lekciji naučićemo kako da razumemo obe jedinice i kako da prelazimo između njih.

Sadržaj

Radijan, veza sa stepenima i važni uglovi
Pretvaranje stepena u radijane
Pretvaranje radijana u stepene
- Egzaktni razlomci sa $\pi$
- Decimalne vrednosti radijana

1. Radijan, veza sa stepenima i važni uglovi

Zamisli krug poluprecnika $r$ . Ugao koji u centru zatvara luk dužine tačno $r$ iznosi tačno 1 radijan.

Pošto ceo krug ima obim $2\pi r$ , pun ugao od $360°$ odgovara tačno $2\pi$ radijana, odakle sledi osnovna veza:

$180° = \pi \text{ rad}$

Iz nje izvlačimo formule za oba smera i vrednosti pojedinih uglova:

$\boxed{1° = \frac{\pi}{180} \text{ rad}} \qquad \qquad \boxed{1 \text{ rad} = \frac{180°}{\pi} \approx 57{,}296°}$

$\alpha_{\text{rad}} = \alpha° \cdot \frac{\pi}{180°} \qquad \qquad \alpha° = \alpha_{\text{rad}} \cdot \frac{180°}{\pi}$

Ove vrednosti vredi zapamtiti jer se stalno pojavljuju:

Stepeni	Radijani
$0°$	$0$
$30°$	$\dfrac{\pi}{6}$
$45°$	$\dfrac{\pi}{4}$
$60°$	$\dfrac{\pi}{3}$
$90°$	$\dfrac{\pi}{2}$
$120°$	$\dfrac{2\pi}{3}$
$135°$	$\dfrac{3\pi}{4}$
$150°$	$\dfrac{5\pi}{6}$
$180°$	$\pi$
$270°$	$\dfrac{3\pi}{2}$
$360°$	$2\pi$

Svi uglovi iz tabele su umnošci od $30°$ ili $45°$ . Ako zapamtiš $\frac{\pi}{6}$ za $30°$ i $\frac{\pi}{4}$ za $45°$ , ostale vrednosti dobijaš množenjem.

Kada prelaziš između jedinica, $\pi$ se uvek skraćuje ako je ugao zadat kao razlomak sa $\pi$ u brojiocu. Ne zamenjuj $\pi$ brojem dok se ne uveriš da se ne može skratiti.

2. Pretvaranje stepena u radijane

2.1 Celi stepeni

Najjednostavniji slučaj: ugao je ceo broj stepeni koji se lepo skraćuje sa 180.

Zadatak. Izraziti u radijanima: $\alpha = 18°$ .

Koristimo formulu $\alpha_{\text{rad}} = \alpha° \cdot \dfrac{\pi}{180°}$ :

$\alpha_{\text{rad}} = 18° \cdot \frac{\pi}{180°}$

Skraćujemo $18$ i $180$ sa $18$ :

$\alpha_{\text{rad}} = \frac{1}{10}\pi = \frac{\pi}{10} \text{ rad}$

Zadatak. Izraziti u radijanima: $\alpha = 330°$ .

$\alpha_{\text{rad}} = 330° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{330}{180}\pi$

Najveći zajednički delilac od $330$ i $180$ je $30$ :

$\alpha_{\text{rad}} = \frac{11\pi}{6} \text{ rad}$

2.2 Decimalni stepeni

Kada je ugao decimalni broj, najpre ga zapišemo kao razlomak, pa skraćujemo.

Zadatak. Izraziti u radijanima: $\alpha = 18{,}5°$ .

$\alpha_{\text{rad}} = 18{,}5 \cdot \frac{\pi}{180}$

Zapisujemo $18{,}5 = \dfrac{37}{2}$ kao razlomak:

$\alpha_{\text{rad}} = \frac{37}{2} \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{37\pi}{360} \text{ rad}$

Proveravamo: $37$ i $360$ nemaju zajednički delilac osim $1$ , pa je razlomak već skraćen.

Decimalni broj uvek prepiši kao razlomak pre množenja sa $\dfrac{\pi}{180}$ . Ako ostaviš decimale i množiš, skoro uvek dobiješ ružan razlomak koji je teže skratiti, a lako se pogriješi u računu.

2.3 Stepeni, minuti i sekunde

Ugao se ponekad zadaje u stepenima, minutima i sekundama, gde važi $1° = 60'$ i $1' = 60''$ , dakle $1° = 3600''$ .

Da bismo takav ugao pretvorili u radijane, najpre sve pretvorimo u decimalne stepene, a zatim primenimo formulu.

Zadatak. Izraziti u radijanima: $\alpha = 12° \, 15'$ .

Korak 1. Pretvaramo minute u delove stepena. Pošto je $1° = 60'$ : $15' = \frac{15}{60}° = 0{,}25°$

Korak 2. Ceo ugao u decimalnim stepenima: $\alpha = 12° + 0{,}25° = 12{,}25°$

Korak 3. Zapisujemo $12{,}25 = \dfrac{49}{4}$ i primenjujemo formulu: $\alpha_{\text{rad}} = \frac{49}{4} \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{49\pi}{720} \text{ rad}$

Zadatak. Izraziti u radijanima: $\alpha = 75° \, 49' \, 7''$ .

Sve tri komponente pretvaramo u delove stepena koristeći $1' = \frac{1}{60}°$ i $1'' = \frac{1}{3600}°$ :

$\alpha = 75 + \frac{49}{60} + \frac{7}{3600} = \frac{75 \cdot 3600 + 49 \cdot 60 + 7}{3600} = \frac{272947}{3600}°$

Primenjujemo formulu:

$\alpha_{\text{rad}} = \frac{272947}{3600} \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{272947\pi}{648000} \approx 1{,}323 \text{ rad}$

Za zadatke sa minutima i sekundama gde je potreban tačan razlomak, pretvori sve u sekunde i podeli sa $3600$ da dobiješ stepene. Tada množiš sa $\frac{\pi}{180}$ , što daje imenilac $648000 = 3600 \cdot 180$ . Ovaj broj se retko dalje skraćuje.

3. Pretvaranje radijana u stepene

3.1 Egzaktni razlomci sa $\pi$

Kada je ugao zadat u obliku $\dfrac{k\pi}{n}$ , $\pi$ se skraćuje i ostaje samo račun sa razlomcima.

Zadatak. Izraziti u stepenima: $\varphi = \dfrac{7\pi}{12}$ .

$\varphi° = \frac{7\pi}{12} \cdot \frac{180°}{\pi}$

Skraćujemo $\pi$ :

$\varphi° = \frac{7}{12} \cdot 180° = 7 \cdot 15° = 105°$

3.2 Decimalne vrednosti radijana

Kada je ugao zadat kao decimalni broj (bez $\pi$ ), rezultat neće biti ceo broj stepeni. Ukoliko je potrebna vrednost u stepenima, minutima i sekundama, decimalni ostatak pretvaramo korak po korak.

Zadatak. Koliko je $1 \text{ rad}$ u stepenima, minutima i sekundama?

Korak 1. Pretvaramo u decimalne stepene:

$\alpha° = 1 \cdot \frac{180°}{\pi} \approx \frac{180°}{3{,}14159} \approx 57{,}29578°$

Korak 2. Celobrojni deo su stepeni: $57°$ . Decimalni ostatak $0{,}29578°$ pretvaramo u minute množenjem sa $60$ :

$0{,}29578 \cdot 60 = 17{,}747'$

Korak 3. Celobrojni deo su minuti: $17'$ . Decimalni ostatak $0{,}747'$ pretvaramo u sekunde:

$0{,}747 \cdot 60 \approx 44{,}8'' \approx 45''$

$1 \text{ rad} \approx 57° \, 17' \, 45''$

U svakom koraku uzimaj samo decimalni ostatak i množiš sa $60$ . Česta greška je uzeti ceo broj (npr. $57{,}29578$ ) i množiti sa $60$ umesto samo ostatka $0{,}29578$ .

Zadatak. Izraziti u stepenima, minutima i sekundama: $1{,}08622 \text{ rad}$ .

Korak 1. Decimalni stepeni:

$\alpha° \approx 1{,}08622 \cdot \frac{180°}{3{,}14159} \approx 62{,}237°$

Korak 2. Stepeni: $62°$ . Ostatak u minute:

$0{,}237 \cdot 60 \approx 14{,}2' \implies 14'$

Korak 3. Ostatak $0{,}2'$ u sekunde:

$0{,}2 \cdot 60 \approx 12''$

$1{,}08622 \text{ rad} \approx 62° \, 14' \, 12''$

Radijani i stepeni

Sadržaj

1. Radijan, veza sa stepenima i važni uglovi

2. Pretvaranje stepena u radijane

2.1 Celi stepeni

2.2 Decimalni stepeni

2.3 Stepeni, minuti i sekunde

3. Pretvaranje radijana u stepene

3.1 Egzaktni razlomci sa π\piπ

3.2 Decimalne vrednosti radijana

Zadaci za vežbanje

3.1 Egzaktni razlomci sa $\pi$