Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

Trigonometrijske funkcije su definisane za sve uglove, ali njihove vrednosti znamo napamet samo za nekoliko karakterističnih uglova prvog kvadranta: 30°30°, 45°45°, 60°60° i granične slučajeve 0°0° i 90°90°. Svođenje na oštar ugao je tehnika kojom se vrednost funkcije za bilo koji ugao svodi na vrednost iste ili druge funkcije za ugao između 0°0° i 90°90°.

Sadržaj

  1. Uglovi na trigonometrijskoj kružnici
  2. Periodičnost trigonometrijskih funkcija
  3. Pregled formula za svođenje
  4. Primeri

1. Uglovi na trigonometrijskoj kružnici

Trigonometrijska kružnica je kružnica poluprecnika 11 sa centrom u koordinatnom početku. Na njoj se uglovi mere od pozitivnog dela ose xx, a smer merenja određuje predznak ugla.

x y start I II III IV α −α

Pozitivan ugao se meri u smeru suprotnom od kazaljke na satu (uzbrdo, ka osi yy). Negativan ugao se meri u smeru kazaljke na satu (nizbrdo).

Svaki ugao odgovara tačno jednoj tački na kružnici, ali jedna tačka odgovara beskonačno mnogo uglova, jer se krug može obići više puta.

Isti ugao, dva zapisa. Ugao od 60°60° i ugao od −300°-300° završavaju na istoj tački kružnice, jer je 60°−360°=−300°60° - 360° = -300°. Razlika je samo u smeru čitanja:

60°=−300°+360°ili opsˇte:α i α−360°60° = -300° + 360° \qquad \text{ili opšte:} \qquad \alpha \text{ i } \alpha - 360°

Zbog toga, kada vidimo −α-\alpha, to je ugao iste veličine kao α\alpha, ali izmeren u suprotnom smeru. Na kružnici se tačka za −α-\alpha nalazi simetrično ispod ose xx u odnosu na tačku za α\alpha.

Primer. Ugao −45°-45° je isti kao i ugao 315°315°, jer −45°+360°=315°-45° + 360° = 315°. Oba opisuju istu tačku na kružnici, samo smo do nje stigli različitim putem.

2. Periodičnost trigonometrijskih funkcija

Kada krenemo od startne tačke na kružnici i napravimo pun krug od 360°360°, vraćamo se tačno na isto mesto. To znači da su koordinate te tačke, a time i vrednosti sinusa i kosinusa, iste kao na početku.

Ova pojava se zove periodičnost: funkcija se ponavlja u pravilnim razmacima. Za sinus i kosinus taj razmak je 360°360° (ili 2π2\pi), za tangens i kotangens je 180°180° (ili π\pi), jer se oni ponavljaju dva puta brže.

sin⁡(α+360°)=sin⁡αcos⁡(α+360°)=cos⁡α\sin(\alpha + 360°) = \sin \alpha \qquad \cos(\alpha + 360°) = \cos \alpha

tg⁡(α+180°)=tg⁡αctg⁡(α+180°)=ctg⁡α\operatorname{tg}(\alpha + 180°) = \operatorname{tg} \alpha \qquad \operatorname{ctg}(\alpha + 180°) = \operatorname{ctg} \alpha

Opšte, za bilo koji celi broj kk:

sin⁡(α+k⋅360°)=sin⁡αcos⁡(α+k⋅360°)=cos⁡αk∈Z\sin(\alpha + k \cdot 360°) = \sin \alpha \qquad \cos(\alpha + k \cdot 360°) = \cos \alpha \qquad k \in \mathbb{Z}

tg⁡(α+k⋅180°)=tg⁡αctg⁡(α+k⋅180°)=ctg⁡αk∈Z\operatorname{tg}(\alpha + k \cdot 180°) = \operatorname{tg} \alpha \qquad \operatorname{ctg}(\alpha + k \cdot 180°) = \operatorname{ctg} \alpha \qquad k \in \mathbb{Z}

U praksi ovo znači: možemo dodati ili oduzeti bilo koji broj punih krugova, a vrednost funkcije se ne menja. Upravo to koristimo kada treba da svedemo veliki ugao kao što je 750°750° ili 17π4\frac{17\pi}{4} na ugao u prvom krugu.

Primer. Koliko iznosi sin⁡750°\sin 750°?

Oduzimamo pune krugove dok ne dobijemo ugao između 0°0° i 360°360°: 750°−2⋅360°=750°−720°=30°750° - 2 \cdot 360° = 750° - 720° = 30°

Dakle sin⁡750°=sin⁡30°=12\sin 750° = \sin 30° = \dfrac{1}{2}.

Primer. Koliko iznosi cos⁡17π6\cos \dfrac{17\pi}{6}?

17π6=12π+5π6=2π+5π6\frac{17\pi}{6} = \frac{12\pi + 5\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6}

Dakle cos⁡17π6=cos⁡5π6\cos \dfrac{17\pi}{6} = \cos \dfrac{5\pi}{6}.

Ugao 5π6=150°\dfrac{5\pi}{6} = 150° je u drugom kvadrantu, pa koristimo cos⁡150°=−32\cos 150° = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Kada svodiš ugao periodičnošću, najbrže je podeliti ugao sa 360°360° (ili sa 2π2\pi) i uzeti ostatak pri deljenju. Na primer, 1995°÷360°=51995° \div 360° = 5 ostatak 195°195°, pa je sin⁡1995°=sin⁡195°\sin 1995° = \sin 195°.

3. Pregled formula za svođenje

Svođenje se vrši u dva koraka: najpre se ugao dovede u prvi krug (0°0° do 360°360°) korišćenjem periodičnosti, a zatim se primeni odgovarajuća formula.

Parnost i neparnost:

cos⁡(−α)=cos⁡αsin⁡(−α)=−sin⁡αtg⁡(−α)=−tg⁡α\cos(-\alpha) = \cos \alpha \qquad \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \qquad \operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg} \alpha

Svodne formule:

Postoje dve vrste transformacija u zavisnosti od toga uz koji umnožak od 90°90° stoji ugao α\alpha.

Uz parne umnoške (180°180°, 360°360°, ...) funkcija ostaje ista, menja se samo znak:

sin⁡(180°±α)=∓sin⁡αcos⁡(180°±α)=−cos⁡α\sin(180° \pm \alpha) = \mp\sin\alpha \qquad \cos(180° \pm \alpha) = -\cos\alpha

sin⁡(360°−α)=−sin⁡αcos⁡(360°−α)=cos⁡α\sin(360° - \alpha) = -\sin\alpha \qquad \cos(360° - \alpha) = \cos\alpha

tg⁡(180°±α)=±tg⁡αctg⁡(180°±α)=±ctg⁡α\operatorname{tg}(180° \pm \alpha) = \pm\operatorname{tg}\alpha \qquad \operatorname{ctg}(180° \pm \alpha) = \pm\operatorname{ctg}\alpha

Uz neparne umnoške (90°90°, 270°270°, ...) funkcija prelazi u kofunkciju (sin⁡↔cos⁡\sin \leftrightarrow \cos, tg⁡↔ctg⁡\operatorname{tg} \leftrightarrow \operatorname{ctg}), menja se i znak:

sin⁡(90°±α)=cos⁡αcos⁡(90°±α)=∓sin⁡α\sin(90° \pm \alpha) = \cos\alpha \qquad \cos(90° \pm \alpha) = \mp\sin\alpha

sin⁡(270°±α)=−cos⁡αcos⁡(270°±α)=±sin⁡α\sin(270° \pm \alpha) = -\cos\alpha \qquad \cos(270° \pm \alpha) = \pm\sin\alpha

tg⁡(90°±α)=∓ctg⁡αctg⁡(90°±α)=∓tg⁡α\operatorname{tg}(90° \pm \alpha) = \mp\operatorname{ctg}\alpha \qquad \operatorname{ctg}(90° \pm \alpha) = \mp\operatorname{tg}\alpha

tg⁡(270°±α)=∓ctg⁡αctg⁡(270°±α)=∓tg⁡α\operatorname{tg}(270° \pm \alpha) = \mp\operatorname{ctg}\alpha \qquad \operatorname{ctg}(270° \pm \alpha) = \mp\operatorname{tg}\alpha

Lak način da se odredi znak: zameni α\alpha sa oštrim uglom od 30°30° i proveri u kom kvadrantu se nalazi rezultujući ugao. Ako je originalna funkcija pozitivna u tom kvadrantu, znak je ++, inače −-.

Kod neparnih umnožaka (90°90°, 270°270°) funkcija uvek prelazi u kofunkciju. Kod parnih umnožaka (180°180°, 360°360°) funkcija ostaje ista. Ovo je najvažnije pravilo i najčešće mesto greške.

4. Primeri

4.1 Direktno izračunavanje vrednosti funkcije

Ovi zadaci traže tačnu vrednost funkcije za zadati ugao. Ugao se raspisuje kao zbir ili razlika pogodnog umnošku od 90°90° i oštrog ugla, zatim se primeni svodna formula.

Zadatak. Odrediti vrednost: sin⁡300°\sin 300°.

300°300° je u četvrtom kvadrantu, gde je sinus negativan. Pišemo 300°=360°−60°300° = 360° - 60°:

sin⁡(360°−60°)=−sin⁡60°=−32\sin(360° - 60°) = -\sin 60° = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Zadatak. Odrediti vrednost: cos⁡315°\cos 315°.

315°=360°−45°315° = 360° - 45°, četvrti kvadrant, kosinus pozitivan:

cos⁡(360°−45°)=cos⁡45°=22\cos(360° - 45°) = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}

Zadatak. Odrediti vrednost: ctg⁡5π3\operatorname{ctg} \dfrac{5\pi}{3}.

5π3=2π−π3\dfrac{5\pi}{3} = 2\pi - \dfrac{\pi}{3}, četvrti kvadrant, kotangens negativan:

ctg⁡ ⁣(2π−π3)=−ctg⁡π3=−33\operatorname{ctg}\!\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\operatorname{ctg}\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}

Zadatak. Odrediti vrednost: tg⁡7π4\operatorname{tg} \dfrac{7\pi}{4}.

7π4=2π−π4\dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{\pi}{4}, četvrti kvadrant, tangens negativan:

tg⁡ ⁣(2π−π4)=−tg⁡π4=−1\operatorname{tg}\!\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = -1

4.2 Svođenje velikih uglova periodičnošću

Kada je ugao veći od 360°360° (ili 2π2\pi), najpre se oduzima odgovarajući broj punih krugova, a zatim se primenjuju svodne formule.

Zadatak. Izračunati vrednost izraza sin⁡750°⋅cos⁡390°⋅tg⁡1140°ctg⁡405°⋅sin⁡1860°⋅cos⁡780°\dfrac{\sin 750° \cdot \cos 390° \cdot \operatorname{tg} 1140°}{\operatorname{ctg} 405° \cdot \sin 1860° \cdot \cos 780°}.

Svodimo svaki ugao na prvi krug:

sin⁡750°=sin⁡(2⋅360°+30°)=sin⁡30°=12\sin 750° = \sin(2\cdot360° + 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}

cos⁡390°=cos⁡(360°+30°)=cos⁡30°=32\cos 390° = \cos(360° + 30°) = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}

tg⁡1140°=tg⁡(6⋅180°+60°)=tg⁡60°=3\operatorname{tg} 1140° = \operatorname{tg}(6\cdot180° + 60°) = \operatorname{tg} 60° = \sqrt{3}

ctg⁡405°=ctg⁡(2⋅180°+45°)=ctg⁡45°=1\operatorname{ctg} 405° = \operatorname{ctg}(2\cdot180° + 45°) = \operatorname{ctg} 45° = 1

sin⁡1860°=sin⁡(5⋅360°+60°)=sin⁡60°=32\sin 1860° = \sin(5\cdot360° + 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}

cos⁡780°=cos⁡(2⋅360°+60°)=cos⁡60°=12\cos 780° = \cos(2\cdot360° + 60°) = \cos 60° = \frac{1}{2}

Uvrštavamo i sređujemo:

12⋅32⋅31⋅32⋅12=3434=33=3\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3}}{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}

Zadatak. Izračunati: sin⁡9π4\sin \dfrac{9\pi}{4}.

9π4=2π+π4  ⟹  sin⁡ ⁣(2π+π4)=sin⁡π4=22\frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4} \implies \sin\!\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Zadatak. Uprostiti: sin⁡(8π−1)\sin(8\pi - 1).

sin⁡(8π−1)=sin⁡(4⋅2π−1)=sin⁡(−1)=−sin⁡1\sin(8\pi - 1) = \sin(4 \cdot 2\pi - 1) = \sin(-1) = -\sin 1

4.3 Uprošćavanje izraza

Ovi zadaci sadrže ugaone argumente oblika k⋅90°±αk \cdot 90° \pm \alpha sa nepoznatim α\alpha. Svaki član se svodi posebno, a zatim se izraz algebarski uređuje.

Zadatak. Uprostiti: cos⁡ ⁣(π2−α)sin⁡(π−α)−cos⁡(π+α)sin⁡ ⁣(π2−α)\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right)\sin(\pi - \alpha) - \cos(\pi + \alpha)\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right).

Svodimo svaki član:

cos⁡ ⁣(π2−α)=sin⁡αsin⁡(π−α)=sin⁡α\cos\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha \qquad \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha

cos⁡(π+α)=−cos⁡αsin⁡ ⁣(π2−α)=cos⁡α\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha \qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha

Uvrštavamo:

sin⁡α⋅sin⁡α−(−cos⁡α)⋅cos⁡α=sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin\alpha \cdot \sin\alpha - (-\cos\alpha) \cdot \cos\alpha = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

Zadatak. Uprostiti: sin⁡(π−α)tg⁡ ⁣(α−π2)cos⁡ ⁣(3π2+α)ctg⁡(π−α)\dfrac{\sin(\pi - \alpha)\operatorname{tg}\!\left(\alpha - \dfrac{\pi}{2}\right)}{\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{2} + \alpha\right)\operatorname{ctg}(\pi - \alpha)}.

Svodimo svaki činilac:

sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha

tg⁡ ⁣(α−π2)=−tg⁡ ⁣(π2−α)=−ctg⁡α\operatorname{tg}\!\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = -\operatorname{ctg}\alpha

cos⁡ ⁣(3π2+α)=sin⁡α\cos\!\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha

ctg⁡(π−α)=−ctg⁡α\operatorname{ctg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}\alpha

Uvrštavamo:

sin⁡α⋅(−ctg⁡α)sin⁡α⋅(−ctg⁡α)=1\frac{\sin\alpha \cdot (-\operatorname{ctg}\alpha)}{\sin\alpha \cdot (-\operatorname{ctg}\alpha)} = 1

Zadatak. Uprostiti: (sin⁡(180°+α)+cos⁡(90°+α))2+(cos⁡(360°−α)−sin⁡(270°−α))2(\sin(180° + \alpha) + \cos(90° + \alpha))^2 + (\cos(360° - \alpha) - \sin(270° - \alpha))^2.

Svodimo:

sin⁡(180°+α)=−sin⁡αcos⁡(90°+α)=−sin⁡α\sin(180° + \alpha) = -\sin\alpha \qquad \cos(90° + \alpha) = -\sin\alpha

cos⁡(360°−α)=cos⁡αsin⁡(270°−α)=−cos⁡α\cos(360° - \alpha) = \cos\alpha \qquad \sin(270° - \alpha) = -\cos\alpha

Uvrštavamo:

(−sin⁡α−sin⁡α)2+(cos⁡α−(−cos⁡α))2=(−2sin⁡α)2+(2cos⁡α)2(-\sin\alpha - \sin\alpha)^2 + (\cos\alpha - (-\cos\alpha))^2 = (-2\sin\alpha)^2 + (2\cos\alpha)^2

=4sin⁡2α+4cos⁡2α=4(sin⁡2α+cos⁡2α)=4= 4\sin^2\alpha + 4\cos^2\alpha = 4(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 4

Zadatak. Uprostiti: 1−2sin⁡2 ⁣(α−3π2)sin⁡(α−π)cos⁡(π+α)+tg⁡ ⁣(3π2−α)\dfrac{1 - 2\sin^2\!\left(\alpha - \dfrac{3\pi}{2}\right)}{\sin(\alpha - \pi)\cos(\pi + \alpha)} + \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{3\pi}{2} - \alpha\right).

Svodimo:

sin⁡ ⁣(α−3π2)=cos⁡α  ⟹  1−2cos⁡2α (u brojiocu)\sin\!\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\alpha \implies 1 - 2\cos^2\alpha \text{ (u brojiocu)}

sin⁡(α−π)=−sin⁡αcos⁡(π+α)=−cos⁡αtg⁡ ⁣(3π2−α)=ctg⁡α\sin(\alpha - \pi) = -\sin\alpha \qquad \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha \qquad \operatorname{tg}\!\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \operatorname{ctg}\alpha

Uvrštavamo i svodimo na zajednički imenilac:

1−2cos⁡2αsin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=1−2cos⁡2α+cos⁡2αsin⁡αcos⁡α=1−cos⁡2αsin⁡αcos⁡α=sin⁡2αsin⁡αcos⁡α=tg⁡α\frac{1 - 2\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1 - 2\cos^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1 - \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha

4.4 Dokazivanje identiteta

Kod dokazivanja se leva strana svodi svodnim formulama dok se ne dobije desna strana, ili se obe strane svode na isti izraz.

Zadatak. Dokazati: cos⁡ ⁣(3π2−α)ctg⁡ ⁣(π2+α)cos⁡(−α)cos⁡(2π+α)tg⁡(π−α)=−sin⁡α\dfrac{\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{2} - \alpha\right)\operatorname{ctg}\!\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right)\cos(-\alpha)}{\cos(2\pi + \alpha)\operatorname{tg}(\pi - \alpha)} = -\sin\alpha.

Svodimo svaki činilac:

cos⁡ ⁣(3π2−α)=−sin⁡αctg⁡ ⁣(π2+α)=−tg⁡α\cos\!\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha \qquad \operatorname{ctg}\!\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\operatorname{tg}\alpha

cos⁡(−α)=cos⁡αcos⁡(2π+α)=cos⁡αtg⁡(π−α)=−tg⁡α\cos(-\alpha) = \cos\alpha \qquad \cos(2\pi + \alpha) = \cos\alpha \qquad \operatorname{tg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha

Uvrštavamo:

(−sin⁡α)(−tg⁡α)(cos⁡α)(cos⁡α)(−tg⁡α)=sin⁡αtg⁡αcos⁡α−cos⁡αtg⁡α=−sin⁡α✓\frac{(-\sin\alpha)(-\operatorname{tg}\alpha)(\cos\alpha)}{(\cos\alpha)(-\operatorname{tg}\alpha)} = \frac{\sin\alpha\operatorname{tg}\alpha\cos\alpha}{-\cos\alpha\operatorname{tg}\alpha} = -\sin\alpha \checkmark

Zadatak. Dokazati da vrednost izraza

a2tg⁡(π+α)+b2ctg⁡ ⁣(3π2+α)atg⁡ ⁣(π2−α)+btg⁡ ⁣(3π2+α)−(a+b)tg⁡2(2π−α)\frac{a^2\operatorname{tg}(\pi + \alpha) + b^2\operatorname{ctg}\!\left(\dfrac{3\pi}{2} + \alpha\right)}{a\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) + b\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{3\pi}{2} + \alpha\right)} - (a + b)\operatorname{tg}^2(2\pi - \alpha)

ne zavisi od aa, bb, α\alpha.

Svodimo:

tg⁡(π+α)=tg⁡αctg⁡ ⁣(3π2+α)=−tg⁡α\operatorname{tg}(\pi + \alpha) = \operatorname{tg}\alpha \qquad \operatorname{ctg}\!\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\operatorname{tg}\alpha

tg⁡ ⁣(π2−α)=ctg⁡αtg⁡ ⁣(3π2+α)=−ctg⁡αtg⁡(2π−α)=−tg⁡α\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \operatorname{ctg}\alpha \qquad \operatorname{tg}\!\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\operatorname{ctg}\alpha \qquad \operatorname{tg}(2\pi - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha

Uvrštavamo:

a2tg⁡α−b2tg⁡αactg⁡α−bctg⁡α−(a+b)tg⁡2α=tg⁡α(a2−b2)ctg⁡α(a−b)−(a+b)tg⁡2α\frac{a^2\operatorname{tg}\alpha - b^2\operatorname{tg}\alpha}{a\operatorname{ctg}\alpha - b\operatorname{ctg}\alpha} - (a+b)\operatorname{tg}^2\alpha = \frac{\operatorname{tg}\alpha(a^2 - b^2)}{\operatorname{ctg}\alpha(a - b)} - (a+b)\operatorname{tg}^2\alpha

=tg⁡α(a+b)(a−b)ctg⁡α(a−b)−(a+b)tg⁡2α=(a+b)tg⁡αctg⁡α−(a+b)tg⁡2α= \frac{\operatorname{tg}\alpha(a+b)(a-b)}{\operatorname{ctg}\alpha(a-b)} - (a+b)\operatorname{tg}^2\alpha = (a+b)\frac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{ctg}\alpha} - (a+b)\operatorname{tg}^2\alpha

=(a+b)tg⁡2α−(a+b)tg⁡2α=0= (a+b)\operatorname{tg}^2\alpha - (a+b)\operatorname{tg}^2\alpha = 0

Vrednost izraza je 00 za svako aa, bb, α\alpha, dakle ne zavisi od tih parametara.

4.5 Posebni zadaci

Ovi zadaci koriste svodne formule kao alat za otkrivanje skrivene simetrije u zbiru ili proizvodu.

Zadatak. Uprostiti: sin⁡21°+sin⁡22°+⋯+sin⁡289°\sin^2 1° + \sin^2 2° + \cdots + \sin^2 89°.

Koristimo sin⁡(90°−α)=cos⁡α\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha, pa važi sin⁡89°=cos⁡1°\sin 89° = \cos 1°, sin⁡88°=cos⁡2°\sin 88° = \cos 2°, …\ldots, sin⁡46°=cos⁡44°\sin 46° = \cos 44°.

Grupišemo u parove:

(sin⁡21°+cos⁡21°)+(sin⁡22°+cos⁡22°)+⋯+(sin⁡244°+cos⁡244°)+sin⁡245°(\sin^2 1° + \cos^2 1°) + (\sin^2 2° + \cos^2 2°) + \cdots + (\sin^2 44° + \cos^2 44°) + \sin^2 45°

Svaka od 44 zagrade je jednaka 1:

44⋅1+(22)2=44+12=89244 \cdot 1 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 44 + \frac{1}{2} = \frac{89}{2}

Zadatak. Uprostiti: tg⁡1°⋅tg⁡2°⋅tg⁡3°⋯tg⁡89°\operatorname{tg} 1° \cdot \operatorname{tg} 2° \cdot \operatorname{tg} 3° \cdots \operatorname{tg} 89°.

Koristimo tg⁡(90°−α)=ctg⁡α\operatorname{tg}(90° - \alpha) = \operatorname{ctg}\alpha, pa tg⁡89°=ctg⁡1°\operatorname{tg} 89° = \operatorname{ctg} 1°, tg⁡88°=ctg⁡2°\operatorname{tg} 88° = \operatorname{ctg} 2°, …\ldots

Grupišemo:

(tg⁡1°⋅ctg⁡1°)(tg⁡2°⋅ctg⁡2°)⋯(tg⁡44°⋅ctg⁡44°)⋅tg⁡45°(\operatorname{tg} 1° \cdot \operatorname{ctg} 1°)(\operatorname{tg} 2° \cdot \operatorname{ctg} 2°) \cdots (\operatorname{tg} 44° \cdot \operatorname{ctg} 44°) \cdot \operatorname{tg} 45°

Svaka od 44 zagrade je jednaka 1, a tg⁡45°=1\operatorname{tg} 45° = 1:

1⋅1⋯1⋅1=11 \cdot 1 \cdots 1 \cdot 1 = 1

Zadatak. Ako je sin⁡1995°=a\sin 1995° = a, tg⁡1995°=b\operatorname{tg} 1995° = b, ctg⁡1995°=c\operatorname{ctg} 1995° = c, dokazati da važi c>b>ac > b > a.

Svodimo: 1995°=5⋅360°+195°1995° = 5 \cdot 360° + 195°, pa sve tri funkcije odgovaraju uglu 195°=180°+15°195° = 180° + 15°.

a=sin⁡(180°+15°)=−sin⁡15°<0a = \sin(180° + 15°) = -\sin 15° < 0

b=tg⁡(180°+15°)=tg⁡15°>0b = \operatorname{tg}(180° + 15°) = \operatorname{tg} 15° > 0

c=ctg⁡(180°+15°)=ctg⁡15°>0c = \operatorname{ctg}(180° + 15°) = \operatorname{ctg} 15° > 0

Pošto je a<0a < 0 a b,c>0b, c > 0, odmah važi a<ba < b i a<ca < c.

Za poređenje bb i cc: funkcija tg⁡\operatorname{tg} je rastuća na (0°,90°)(0°, 90°), pa iz 15°<45°15° < 45° sledi tg⁡15°<tg⁡45°=1\operatorname{tg} 15° < \operatorname{tg} 45° = 1, dakle b<1b < 1.

Kotangens je recipročna vrednost tangensa, pa iz 0<b<10 < b < 1 sledi c=1b>1>bc = \frac{1}{b} > 1 > b.

c>b>a✓c > b > a \quad \checkmark

Lekcije iz iste oblasti

2 lekcija

Uopštavanje pojma ugla

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

Zadaci za vežbanje

10 ukupno

Dokazati trigonometrijski identitet: cos⁡(−α)cos⁡α−sin⁡αsin⁡(−α)=1. \cos(-\alpha) \cos \alpha - \sin \alpha \sin(-\alpha) = 1 .

Uvodni

Odrediti vrednost trigonometrijske funkcije: cos⁡315∘. \cos 315^\circ .

Uvodni

Odrediti vrednost trigonometrijske funkcije: ctg5π3. \text{ctg} \frac{5\pi}{3} .

Uvodni

Odrediti vrednost trigonometrijske funkcije: sin⁡300∘. \sin 300^\circ .

Uvodni

Odrediti vrednost trigonometrijske funkcije: tg⁡7π4. \tg \frac{7\pi}{4} .

Uvodni

Uprostiti izraz:

I=(a2+b2)tg(π2+α)cos⁡(3π−α)−(a2−b2)ctg(2π−α)sin⁡(5π2−α)I = \frac{(a^2 + b^2) \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{\cos(3\pi - \alpha)} - \frac{(a^2 - b^2) \text{ctg}(2\pi - \alpha)}{\sin\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right)}
Uvodni

Uprostiti izraz korišćenjem svodnih formula:

\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \cos\left(\frac{3i}{2} - \alpha\right)}{\cos(\pi + \alpha)} - \frac{\sin(2\pi - \alpha) \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{\sin(2\pi + \alpha)}
Uvodni

Uprostiti izraz korišćenjem svođenja na oštar ugao i osnovnih trigonometrijskih identiteta:

cos⁡(π+α)sin⁡(π2+α)tgπ3sin⁡(π2−α)cos⁡(2π−α)cos⁡π6\frac{\cos(\pi + \alpha) \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \text{tg}\frac{\pi}{3}}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \cos(2\pi - \alpha) \cos\frac{\pi}{6}}
Uvodni

Uprostiti izraz primenom adicionih formula i pravila za svođenje na oštar ugao:

cos⁡(α−3π2)ctg2(π2+α)cos⁡(−α)cos⁡(α+2π)tg2(α−π)\frac{\cos\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) \text{ctg}^2\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \cos(-\alpha)}{\cos(\alpha + 2\pi) \text{tg}^2(\alpha - \pi)}
Uvodni

Uprostiti izraz:

\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \sin(\pi - ̑\alpha) - \cos(\pi + \alpha) \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)

Uvodni