Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

Trigonometrijske funkcije su definisane za sve uglove, ali njihove vrednosti znamo napamet samo za uglove prvog kvadranta: 30°30°, 45°45°, 60°60°, i granične slučajeve 0°0° i 90°90°. U prvom kvadrantu su sve funkcije pozitivne i direktno se čitaju sa kružnice, bez iznenađenja sa znakovima ili zamenama funkcija.

U ostalim kvadrantima vrednosti nisu nove, samo su simetrične slike vrednosti iz prvog kvadranta. Razlika je u tome što se menja znak i ponekad se sinus i kosinus zamene, u zavisnosti od kvadranta.

Zato svaki ugao svodimo na oštar referentni ugao u prvom kvadrantu: on predstavlja osnovnu vrednost, a kvadrant u kome se ugao nalazi samo određuje znak i eventualnu zamenu funkcija.

Poenta: prvi kvadrant je osnovna tabela vrednosti, a ostali kvadranti su njene simetrične slike.

Sadržaj

  1. Uglovi na trigonometrijskoj kružnici
  2. Periodičnost trigonometrijskih funkcija
  3. Pregled formula za svođenje
  4. Primeri

1. Uglovi na trigonometrijskoj kružnici

Trigonometrijska kružnica je kružnica poluprečnika 11 sa centrom u koordinatnom početku. Merenje ugla uvek počinje od pozitivnog dela ose xx.

Možeš da zamisliš da hodaš po obodu kružnice. Nije važno samo gde si stigao, već i kojim smerom si išao:

  • Ako se krećeš suprotno smeru kazaljke na satu, ugao je pozitivan.
  • Ako se krećeš u smeru kazaljke na satu, ugao je negativan. x y start I II III IV α −α

Primer. Ugao 60°60° znači da smo od početne tačke krenuli suprotno smeru kazaljke na satu i prešli 60°60°.

Ugao −300°-300° znači da smo krenuli u smeru kazaljke na satu i prešli 300°300°.

Iako smo išli različitim smerovima, završavamo u istoj tački kružnice jer važi: −300°+360°=60°-300° + 360° = 60°

Zato uglovi 60°60° i −300°-300° određuju istu tačku na trigonometrijskoj kružnici.

Uglovi α\alpha i −α-\alpha. Ova dva ugla imaju istu veličinu, ali se mere u suprotnim smerovima. Ako ugao α\alpha završava na nekoj tački kružnice, ugao −α-\alpha završava na tački koja je simetrična u odnosu na osu xx. Koordinata xx ostaje ista, a koordinata yy menja znak, što objašnjava zašto važi cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos\alpha i sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha) = -\sin\alpha.

2. Periodičnost trigonometrijskih funkcija

Na trigonometrijskoj kružnici ugao se meri od pozitivnog dela xx-ose. Ako od početne pozicije napravimo jedan pun krug (360°360° ili 2π2\pi), vraćamo se u istu tačku na kružnici.

Pošto smo ponovo u istoj tački, njene koordinate se ne menjaju. Zbog toga se ne menjaju ni vrednosti sinusa i kosinusa:

sin⁡(α+360°)=sin⁡αcos⁡(α+360°)=cos⁡α\sin(\alpha + 360°) = \sin\alpha \qquad \cos(\alpha + 360°) = \cos\alpha

Kažemo da su sinus i kosinus periodične funkcije sa periodom 360°360° (ili 2π2\pi).

Tangens i kotangens imaju manji period. Već nakon pola kruga (180°180° ili π\pi) njihove vrednosti se ponavljaju:

tg⁡(α+180°)=tg⁡αctg⁡(α+180°)=ctg⁡α\operatorname{tg}(\alpha + 180°) = \operatorname{tg}\alpha \qquad \operatorname{ctg}(\alpha + 180°) = \operatorname{ctg}\alpha

Kažemo da su tangens i kotangens periodične funkcije sa periodom 180°180° (ili π\pi).

Zašto je to tako? Tangens je definisan kao tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, što je zapravo odnos yy-koordinate i xx-koordinate tačke na kružnici. Tačka za ugao α+180°\alpha + 180° leži dijametralno nasuprot tački za ugao α\alpha, pa su joj obe koordinate suprotnog znaka. Kada se izračuna odnos, suprotni znaci se skrate:

tg⁡(α+180°)=−sin⁡α−cos⁡α=sin⁡αcos⁡α=tg⁡α\operatorname{tg}(\alpha + 180°) = \frac{-\sin\alpha}{-\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha

Zašto nam je periodičnost korisna? Kada treba izračunati vrednost funkcije za veliki ugao, nije potrebno posmatrati više krugova. Dovoljno je ugao svesti na prvi krug, odnosno na ugao između 0°0° i 360°360°. Možemo dodavati ili oduzimati pune krugove, a vrednost funkcije ostaje ista.

Primer. Koliko iznosi sin⁡750°\sin 750°?

Oduzimamo pune krugove dok ne dobijemo ugao između 0°0° i 360°360°: 750°−2⋅360°=750°−720°=30°750° - 2 \cdot 360° = 750° - 720° = 30°

Dakle sin⁡750°=sin⁡30°=12\sin 750° = \sin 30° = \dfrac{1}{2}.

Kada svodiš ugao periodičnošću, najbrže je podeliti ugao sa 360°360° i uzeti ostatak pri deljenju. Na primer, 1995°÷360°=51995° \div 360° = 5 ostatak 195°195°, pa je sin⁡1995°=sin⁡195°\sin 1995° = \sin 195°.

3. Pregled formula za svođenje

Svođenje se vrši u dva koraka: najpre se ugao dovede u prvi krug (0°0° do 360°360°) korišćenjem periodičnosti, a zatim se primeni odgovarajuća formula na osnovu oblika ugla.

Parnost i neparnost (negativni uglovi):

cos⁡(−α)=cos⁡αsin⁡(−α)=−sin⁡αtg⁡(−α)=−tg⁡α\cos(-\alpha) = \cos \alpha \qquad \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \qquad \operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg} \alpha

3.1 Uglovi oblika 180°±α180° \pm \alpha i 360°−α360° - \alpha

Kada uz umnožak od 180°180° ili 360°360° stoji ugao α\alpha, tačka na kružnici ostaje na istoj osi simetrije. Zbog toga funkcija ostaje ista, menja se samo znak u zavisnosti od kvadranta.

sin⁡(180°±α)=∓sin⁡αcos⁡(180°±α)=−cos⁡α\sin(180° \pm \alpha) = \mp\sin\alpha \qquad \cos(180° \pm \alpha) = -\cos\alpha

sin⁡(360°−α)=−sin⁡αcos⁡(360°−α)=cos⁡α\sin(360° - \alpha) = -\sin\alpha \qquad \cos(360° - \alpha) = \cos\alpha

tg⁡(180°±α)=±tg⁡αctg⁡(180°±α)=±ctg⁡α\operatorname{tg}(180° \pm \alpha) = \pm\operatorname{tg}\alpha \qquad \operatorname{ctg}(180° \pm \alpha) = \pm\operatorname{ctg}\alpha

3.2 Uglovi oblika 90°±α90° \pm \alpha i 270°±α270° \pm \alpha

Kada uz umnožak od 90°90° ili 270°270° stoji ugao α\alpha, tačka na kružnici prelazi na drugu osu simetrije. Zbog toga funkcija prelazi u kofunkciju (sin⁡↔cos⁡\sin \leftrightarrow \cos, tg⁡↔ctg⁡\operatorname{tg} \leftrightarrow \operatorname{ctg}), a znak se određuje iz kvadranta.

sin⁡(90°±α)=cos⁡αcos⁡(90°±α)=∓sin⁡α\sin(90° \pm \alpha) = \cos\alpha \qquad \cos(90° \pm \alpha) = \mp\sin\alpha

sin⁡(270°±α)=−cos⁡αcos⁡(270°±α)=±sin⁡α\sin(270° \pm \alpha) = -\cos\alpha \qquad \cos(270° \pm \alpha) = \pm\sin\alpha

tg⁡(90°±α)=∓ctg⁡αctg⁡(90°±α)=∓tg⁡α\operatorname{tg}(90° \pm \alpha) = \mp\operatorname{ctg}\alpha \qquad \operatorname{ctg}(90° \pm \alpha) = \mp\operatorname{tg}\alpha

tg⁡(270°±α)=∓ctg⁡αctg⁡(270°±α)=∓tg⁡α\operatorname{tg}(270° \pm \alpha) = \mp\operatorname{ctg}\alpha \qquad \operatorname{ctg}(270° \pm \alpha) = \mp\operatorname{tg}\alpha

180°180° i 360°360°: funkcija ostaje ista, menja se samo znak. 90°90° i 270°270°: funkcija uvek prelazi u kofunkciju. Ovo je najvažnija razlika i najčešće mesto greške.

Lak način da se odredi znak: zameni α\alpha sa oštrim uglom od 30°30° i proveri u kom kvadrantu se nalazi rezultujući ugao. Ako je originalna funkcija pozitivna u tom kvadrantu, znak je ++, inače −-.

4. Primeri

4.1 Direktno izračunavanje vrednosti funkcije

Ovi zadaci traže tačnu vrednost funkcije za zadati ugao. Ugao se raspisuje kao zbir ili razlika pogodnog umnošku od 90°90° i oštrog ugla, zatim se primeni svodna formula.

Zadatak. Odrediti vrednost: sin⁡300°\sin 300°.

300°300° je u četvrtom kvadrantu, gde je sinus negativan. Pišemo 300°=360°−60°300° = 360° - 60°:

sin⁡(360°−60°)=−sin⁡60°=−32\sin(360° - 60°) = -\sin 60° = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Zadatak. Odrediti vrednost: cos⁡315°\cos 315°.

315°=360°−45°315° = 360° - 45°, četvrti kvadrant, kosinus pozitivan:

cos⁡(360°−45°)=cos⁡45°=22\cos(360° - 45°) = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}

Zadatak. Odrediti vrednost: ctg⁡5π3\operatorname{ctg} \dfrac{5\pi}{3}.

5π3=2π−π3\dfrac{5\pi}{3} = 2\pi - \dfrac{\pi}{3}, četvrti kvadrant, kotangens negativan:

ctg⁡ ⁣(2π−π3)=−ctg⁡π3=−33\operatorname{ctg}\!\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\operatorname{ctg}\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}

Zadatak. Odrediti vrednost: tg⁡7π4\operatorname{tg} \dfrac{7\pi}{4}.

7π4=2π−π4\dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{\pi}{4}, četvrti kvadrant, tangens negativan:

tg⁡ ⁣(2π−π4)=−tg⁡π4=−1\operatorname{tg}\!\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = -1

4.2 Svođenje velikih uglova periodičnošću

Kada je ugao veći od 360°360° (ili 2π2\pi), najpre se oduzima odgovarajući broj punih krugova, a zatim se primenjuju svodne formule.

Zadatak. Izračunati vrednost izraza sin⁡750°⋅cos⁡390°⋅tg⁡1140°ctg⁡405°⋅sin⁡1860°⋅cos⁡780°\dfrac{\sin 750° \cdot \cos 390° \cdot \operatorname{tg} 1140°}{\operatorname{ctg} 405° \cdot \sin 1860° \cdot \cos 780°}.

Svodimo svaki ugao na prvi krug:

sin⁡750°=sin⁡(2⋅360°+30°)=sin⁡30°=12\sin 750° = \sin(2\cdot360° + 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}

cos⁡390°=cos⁡(360°+30°)=cos⁡30°=32\cos 390° = \cos(360° + 30°) = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}

tg⁡1140°=tg⁡(6⋅180°+60°)=tg⁡60°=3\operatorname{tg} 1140° = \operatorname{tg}(6\cdot180° + 60°) = \operatorname{tg} 60° = \sqrt{3}

ctg⁡405°=ctg⁡(2⋅180°+45°)=ctg⁡45°=1\operatorname{ctg} 405° = \operatorname{ctg}(2\cdot180° + 45°) = \operatorname{ctg} 45° = 1

sin⁡1860°=sin⁡(5⋅360°+60°)=sin⁡60°=32\sin 1860° = \sin(5\cdot360° + 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}

cos⁡780°=cos⁡(2⋅360°+60°)=cos⁡60°=12\cos 780° = \cos(2\cdot360° + 60°) = \cos 60° = \frac{1}{2}

Uvrštavamo i sređujemo:

12⋅32⋅31⋅32⋅12=3434=33=3\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3}}{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}

Zadatak. Izračunati: sin⁡9π4\sin \dfrac{9\pi}{4}.

9π4=2π+π4  ⟹  sin⁡ ⁣(2π+π4)=sin⁡π4=22\frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4} \implies \sin\!\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Zadatak. Uprostiti: sin⁡(8π−1)\sin(8\pi - 1).

sin⁡(8π−1)=sin⁡(4⋅2π−1)=sin⁡(−1)=−sin⁡1\sin(8\pi - 1) = \sin(4 \cdot 2\pi - 1) = \sin(-1) = -\sin 1

4.3 Uprošćavanje izraza

Ovi zadaci sadrže ugaone argumente oblika k⋅90°±αk \cdot 90° \pm \alpha sa nepoznatim α\alpha. Svaki član se svodi posebno, a zatim se izraz algebarski uređuje.

Zadatak. Uprostiti: cos⁡ ⁣(π2−α)sin⁡(π−α)−cos⁡(π+α)sin⁡ ⁣(π2−α)\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right)\sin(\pi - \alpha) - \cos(\pi + \alpha)\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right).

Svodimo svaki član:

cos⁡ ⁣(π2−α)=sin⁡αsin⁡(π−α)=sin⁡α\cos\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha \qquad \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha

cos⁡(π+α)=−cos⁡αsin⁡ ⁣(π2−α)=cos⁡α\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha \qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha

Uvrštavamo:

sin⁡α⋅sin⁡α−(−cos⁡α)⋅cos⁡α=sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin\alpha \cdot \sin\alpha - (-\cos\alpha) \cdot \cos\alpha = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

Zadatak. Uprostiti: sin⁡(π−α)tg⁡ ⁣(α−π2)cos⁡ ⁣(3π2+α)ctg⁡(π−α)\dfrac{\sin(\pi - \alpha)\operatorname{tg}\!\left(\alpha - \dfrac{\pi}{2}\right)}{\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{2} + \alpha\right)\operatorname{ctg}(\pi - \alpha)}.

Svodimo svaki činilac:

sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha

tg⁡ ⁣(α−π2)=−tg⁡ ⁣(π2−α)=−ctg⁡α\operatorname{tg}\!\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = -\operatorname{ctg}\alpha

cos⁡ ⁣(3π2+α)=sin⁡α\cos\!\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha

ctg⁡(π−α)=−ctg⁡α\operatorname{ctg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}\alpha

Uvrštavamo:

sin⁡α⋅(−ctg⁡α)sin⁡α⋅(−ctg⁡α)=1\frac{\sin\alpha \cdot (-\operatorname{ctg}\alpha)}{\sin\alpha \cdot (-\operatorname{ctg}\alpha)} = 1

Zadatak. Uprostiti: (sin⁡(180°+α)+cos⁡(90°+α))2+(cos⁡(360°−α)−sin⁡(270°−α))2(\sin(180° + \alpha) + \cos(90° + \alpha))^2 + (\cos(360° - \alpha) - \sin(270° - \alpha))^2.

Svodimo:

sin⁡(180°+α)=−sin⁡αcos⁡(90°+α)=−sin⁡α\sin(180° + \alpha) = -\sin\alpha \qquad \cos(90° + \alpha) = -\sin\alpha

cos⁡(360°−α)=cos⁡αsin⁡(270°−α)=−cos⁡α\cos(360° - \alpha) = \cos\alpha \qquad \sin(270° - \alpha) = -\cos\alpha

Uvrštavamo:

(−sin⁡α−sin⁡α)2+(cos⁡α−(−cos⁡α))2=(−2sin⁡α)2+(2cos⁡α)2(-\sin\alpha - \sin\alpha)^2 + (\cos\alpha - (-\cos\alpha))^2 = (-2\sin\alpha)^2 + (2\cos\alpha)^2

=4sin⁡2α+4cos⁡2α=4(sin⁡2α+cos⁡2α)=4= 4\sin^2\alpha + 4\cos^2\alpha = 4(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 4

Zadatak. Uprostiti: 1−2sin⁡2 ⁣(α−3π2)sin⁡(α−π)cos⁡(π+α)+tg⁡ ⁣(3π2−α)\dfrac{1 - 2\sin^2\!\left(\alpha - \dfrac{3\pi}{2}\right)}{\sin(\alpha - \pi)\cos(\pi + \alpha)} + \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{3\pi}{2} - \alpha\right).

Svodimo:

sin⁡ ⁣(α−3π2)=cos⁡α  ⟹  1−2cos⁡2α (u brojiocu)\sin\!\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\alpha \implies 1 - 2\cos^2\alpha \text{ (u brojiocu)}

sin⁡(α−π)=−sin⁡αcos⁡(π+α)=−cos⁡αtg⁡ ⁣(3π2−α)=ctg⁡α\sin(\alpha - \pi) = -\sin\alpha \qquad \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha \qquad \operatorname{tg}\!\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \operatorname{ctg}\alpha

Uvrštavamo i svodimo na zajednički imenilac:

1−2cos⁡2αsin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=1−2cos⁡2α+cos⁡2αsin⁡αcos⁡α=1−cos⁡2αsin⁡αcos⁡α=sin⁡2αsin⁡αcos⁡α=tg⁡α\frac{1 - 2\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1 - 2\cos^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1 - \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha

4.4 Dokazivanje identiteta

Kod dokazivanja se leva strana svodi svodnim formulama dok se ne dobije desna strana, ili se obe strane svode na isti izraz.

Zadatak. Dokazati: cos⁡ ⁣(3π2−α)ctg⁡ ⁣(π2+α)cos⁡(−α)cos⁡(2π+α)tg⁡(π−α)=−sin⁡α\dfrac{\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{2} - \alpha\right)\operatorname{ctg}\!\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right)\cos(-\alpha)}{\cos(2\pi + \alpha)\operatorname{tg}(\pi - \alpha)} = -\sin\alpha.

Svodimo svaki činilac:

cos⁡ ⁣(3π2−α)=−sin⁡αctg⁡ ⁣(π2+α)=−tg⁡α\cos\!\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha \qquad \operatorname{ctg}\!\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\operatorname{tg}\alpha

cos⁡(−α)=cos⁡αcos⁡(2π+α)=cos⁡αtg⁡(π−α)=−tg⁡α\cos(-\alpha) = \cos\alpha \qquad \cos(2\pi + \alpha) = \cos\alpha \qquad \operatorname{tg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha

Uvrštavamo:

(−sin⁡α)(−tg⁡α)(cos⁡α)(cos⁡α)(−tg⁡α)=sin⁡αtg⁡αcos⁡α−cos⁡αtg⁡α=−sin⁡α✓\frac{(-\sin\alpha)(-\operatorname{tg}\alpha)(\cos\alpha)}{(\cos\alpha)(-\operatorname{tg}\alpha)} = \frac{\sin\alpha\operatorname{tg}\alpha\cos\alpha}{-\cos\alpha\operatorname{tg}\alpha} = -\sin\alpha \checkmark

Zadatak. Dokazati da vrednost izraza

a2tg⁡(π+α)+b2ctg⁡ ⁣(3π2+α)atg⁡ ⁣(π2−α)+btg⁡ ⁣(3π2+α)−(a+b)tg⁡2(2π−α)\frac{a^2\operatorname{tg}(\pi + \alpha) + b^2\operatorname{ctg}\!\left(\dfrac{3\pi}{2} + \alpha\right)}{a\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) + b\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{3\pi}{2} + \alpha\right)} - (a + b)\operatorname{tg}^2(2\pi - \alpha)

ne zavisi od aa, bb, α\alpha.

Svodimo:

tg⁡(π+α)=tg⁡αctg⁡ ⁣(3π2+α)=−tg⁡α\operatorname{tg}(\pi + \alpha) = \operatorname{tg}\alpha \qquad \operatorname{ctg}\!\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\operatorname{tg}\alpha

tg⁡ ⁣(π2−α)=ctg⁡αtg⁡ ⁣(3π2+α)=−ctg⁡αtg⁡(2π−α)=−tg⁡α\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \operatorname{ctg}\alpha \qquad \operatorname{tg}\!\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\operatorname{ctg}\alpha \qquad \operatorname{tg}(2\pi - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha

Uvrštavamo:

a2tg⁡α−b2tg⁡αactg⁡α−bctg⁡α−(a+b)tg⁡2α=tg⁡α(a2−b2)ctg⁡α(a−b)−(a+b)tg⁡2α\frac{a^2\operatorname{tg}\alpha - b^2\operatorname{tg}\alpha}{a\operatorname{ctg}\alpha - b\operatorname{ctg}\alpha} - (a+b)\operatorname{tg}^2\alpha = \frac{\operatorname{tg}\alpha(a^2 - b^2)}{\operatorname{ctg}\alpha(a - b)} - (a+b)\operatorname{tg}^2\alpha

=tg⁡α(a+b)(a−b)ctg⁡α(a−b)−(a+b)tg⁡2α=(a+b)tg⁡αctg⁡α−(a+b)tg⁡2α= \frac{\operatorname{tg}\alpha(a+b)(a-b)}{\operatorname{ctg}\alpha(a-b)} - (a+b)\operatorname{tg}^2\alpha = (a+b)\frac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{ctg}\alpha} - (a+b)\operatorname{tg}^2\alpha

=(a+b)tg⁡2α−(a+b)tg⁡2α=0= (a+b)\operatorname{tg}^2\alpha - (a+b)\operatorname{tg}^2\alpha = 0

Vrednost izraza je 00 za svako aa, bb, α\alpha, dakle ne zavisi od tih parametara.

4.5 Posebni zadaci

Ovi zadaci koriste svodne formule kao alat za otkrivanje skrivene simetrije u zbiru ili proizvodu.

Zadatak. Uprostiti: sin⁡21°+sin⁡22°+⋯+sin⁡289°\sin^2 1° + \sin^2 2° + \cdots + \sin^2 89°.

Koristimo sin⁡(90°−α)=cos⁡α\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha, pa važi sin⁡89°=cos⁡1°\sin 89° = \cos 1°, sin⁡88°=cos⁡2°\sin 88° = \cos 2°, …\ldots, sin⁡46°=cos⁡44°\sin 46° = \cos 44°.

Grupišemo u parove:

(sin⁡21°+cos⁡21°)+(sin⁡22°+cos⁡22°)+⋯+(sin⁡244°+cos⁡244°)+sin⁡245°(\sin^2 1° + \cos^2 1°) + (\sin^2 2° + \cos^2 2°) + \cdots + (\sin^2 44° + \cos^2 44°) + \sin^2 45°

Svaka od 44 zagrade je jednaka 1:

44⋅1+(22)2=44+12=89244 \cdot 1 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 44 + \frac{1}{2} = \frac{89}{2}

Zadatak. Uprostiti: tg⁡1°⋅tg⁡2°⋅tg⁡3°⋯tg⁡89°\operatorname{tg} 1° \cdot \operatorname{tg} 2° \cdot \operatorname{tg} 3° \cdots \operatorname{tg} 89°.

Koristimo tg⁡(90°−α)=ctg⁡α\operatorname{tg}(90° - \alpha) = \operatorname{ctg}\alpha, pa tg⁡89°=ctg⁡1°\operatorname{tg} 89° = \operatorname{ctg} 1°, tg⁡88°=ctg⁡2°\operatorname{tg} 88° = \operatorname{ctg} 2°, …\ldots

Grupišemo:

(tg⁡1°⋅ctg⁡1°)(tg⁡2°⋅ctg⁡2°)⋯(tg⁡44°⋅ctg⁡44°)⋅tg⁡45°(\operatorname{tg} 1° \cdot \operatorname{ctg} 1°)(\operatorname{tg} 2° \cdot \operatorname{ctg} 2°) \cdots (\operatorname{tg} 44° \cdot \operatorname{ctg} 44°) \cdot \operatorname{tg} 45°

Svaka od 44 zagrade je jednaka 1, a tg⁡45°=1\operatorname{tg} 45° = 1:

1⋅1⋯1⋅1=11 \cdot 1 \cdots 1 \cdot 1 = 1

Zadatak. Ako je sin⁡1995°=a\sin 1995° = a, tg⁡1995°=b\operatorname{tg} 1995° = b, ctg⁡1995°=c\operatorname{ctg} 1995° = c, dokazati da važi c>b>ac > b > a.

Svodimo: 1995°=5⋅360°+195°1995° = 5 \cdot 360° + 195°, pa sve tri funkcije odgovaraju uglu 195°=180°+15°195° = 180° + 15°.

a=sin⁡(180°+15°)=−sin⁡15°<0a = \sin(180° + 15°) = -\sin 15° < 0

b=tg⁡(180°+15°)=tg⁡15°>0b = \operatorname{tg}(180° + 15°) = \operatorname{tg} 15° > 0

c=ctg⁡(180°+15°)=ctg⁡15°>0c = \operatorname{ctg}(180° + 15°) = \operatorname{ctg} 15° > 0

Pošto je a<0a < 0 a b,c>0b, c > 0, odmah važi a<ba < b i a<ca < c.

Za poređenje bb i cc: funkcija tg⁡\operatorname{tg} je rastuća na (0°,90°)(0°, 90°), pa iz 15°<45°15° < 45° sledi tg⁡15°<tg⁡45°=1\operatorname{tg} 15° < \operatorname{tg} 45° = 1, dakle b<1b < 1.

Kotangens je recipročna vrednost tangensa, pa iz 0<b<10 < b < 1 sledi c=1b>1>bc = \frac{1}{b} > 1 > b.

c>b>a✓c > b > a \quad \checkmark

Lekcije iz iste oblasti

5 lekcija

Uopštavanje pojma ugla

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

Adicione formule

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Trigonometrijske funkcije poluugla

Zadaci za vežbanje

10 ukupno

Dokazati trigonometrijski identitet: cos⁡(−α)cos⁡α−sin⁡αsin⁡(−α)=1. \cos(-\alpha) \cos \alpha - \sin \alpha \sin(-\alpha) = 1 .

Uvodni

Odrediti vrednost trigonometrijske funkcije: cos⁡315∘. \cos 315^\circ .

Uvodni

Odrediti vrednost trigonometrijske funkcije: ctg5π3. \text{ctg} \frac{5\pi}{3} .

Uvodni

Odrediti vrednost trigonometrijske funkcije: sin⁡300∘. \sin 300^\circ .

Uvodni

Odrediti vrednost trigonometrijske funkcije: tg⁡7π4. \tg \frac{7\pi}{4} .

Uvodni

Uprostiti izraz:

I=(a2+b2)tg(π2+α)cos⁡(3π−α)−(a2−b2)ctg(2π−α)sin⁡(5π2−α)I = \frac{(a^2 + b^2) \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{\cos(3\pi - \alpha)} - \frac{(a^2 - b^2) \text{ctg}(2\pi - \alpha)}{\sin\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right)}
Uvodni

Uprostiti izraz korišćenjem svodnih formula:

\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \cos\left(\frac{3i}{2} - \alpha\right)}{\cos(\pi + \alpha)} - \frac{\sin(2\pi - \alpha) \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{\sin(2\pi + \alpha)}
Uvodni

Uprostiti izraz korišćenjem svođenja na oštar ugao i osnovnih trigonometrijskih identiteta:

cos⁡(π+α)sin⁡(π2+α)tgπ3sin⁡(π2−α)cos⁡(2π−α)cos⁡π6\frac{\cos(\pi + \alpha) \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \text{tg}\frac{\pi}{3}}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \cos(2\pi - \alpha) \cos\frac{\pi}{6}}
Uvodni

Uprostiti izraz primenom adicionih formula i pravila za svođenje na oštar ugao:

cos⁡(α−3π2)ctg2(π2+α)cos⁡(−α)cos⁡(α+2π)tg2(α−π)\frac{\cos\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) \text{ctg}^2\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \cos(-\alpha)}{\cos(\alpha + 2\pi) \text{tg}^2(\alpha - \pi)}
Uvodni

Uprostiti izraz:

\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \sin(\pi - ̑\alpha) - \cos(\pi + \alpha) \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)

Uvodni