Svođenje: izraz sa kotangensom na kvadrat

Prvo ćemo pojedinačno odrediti vrednosti svakog člana u brojiocu i imeniocu koristeći pravila svođenja na oštar ugao.

Za prvi član u brojiocu koristimo parnost kosinusa $\cos(-x) = \cos x$ i pravilo za neparne umnoške $\frac{\pi}{2} :$

\cos\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(-\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin \alpha

Za drugi član u brojiocu, pošto je funkcija na kvadrat, znak nije presudan, ali pratimo pravilo promene u ko-funkciju:

\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{tg } \alpha \implies \text{ctg}^2\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = (-\text{tg } \alpha)^2 = \text{tg}^2 \alpha

Treći član u brojiocu koristimo osobinu parnosti kosinusa:

\cos(-\alpha) = \cos \alpha

U imeniocu, kosinus je periodična funkcija sa periodom $2\pi ,$ a za tangens koristimo periodičnost sa periodom $\pi :$

\begin{aligned} \cos(\alpha + 2\pi) &= \cos \alpha \\ \text{tg}(\alpha - \pi) &= \text{tg } \alpha \implies \text{tg}^2(\alpha - \pi) = \text{tg}^2 \alpha \end{aligned}

Sada zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u polazni izraz:

\frac{(-\sin \alpha) \cdot \text{tg}^2 \alpha \cdot \cos \alpha}{\cos \alpha \cdot \text{tg}^2 \alpha}

Skraćivanjem istih članova u brojiocu i imeniocu ( $\cos \alpha$ i $\text{tg}^2 \alpha$ ), dobijamo konačan rezultat:

-\sin \alpha

634.e