2402. Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

Primenjujemo pravila za svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao za svaki član u brojiocu i imeniocu. Prvo posmatramo brojilac:

\begin{aligned} &\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha \quad (\text{III kvadrant, kosinus je negativan}) \\ &\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha \quad (\text{II kvadrant, sinus je pozitivan, funkcija prelazi u ko-funkciju}) \\ &\text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \end{aligned}

Zatim određujemo vrednosti izraza u imeniocu:

\begin{aligned} &\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha \quad (\text{I kvadrant, sinus je pozitivan, funkcija prelazi u ko-funkciju}) \\ &\cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha \quad (\text{IV kvadrant, kosinus je pozitivan}) \\ &\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u početni izraz:

\frac{(-\cos \alpha) \cdot \cos \alpha \cdot \sqrt{3}}{\cos \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}

Sređujemo izraz skraćivanjem zajedničkih faktora $\cos^2 \alpha$ i $\sqrt{3} :$

\frac{-\sqrt{3} \cos^2 \alpha}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos^2 \alpha} = \frac{-\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}

Rešavamo dvojni razlomak kako bismo dobili konačan rezultat:

-1 \cdot \frac{2}{1} = -2

634.g