2406.

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

TEKST ZADATKA

Uprostiti dati trigonometrijski izraz primenom pravila za svođenje na oštar ugao:

sin⁡(π−α)tg(α−π2)cos⁡(3π2+α)ctg(π−α)\frac{\sin(\pi - \alpha) \text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) \text{ctg}(\pi - \alpha)}
REŠENJE ZADATKA

Prvo analiziramo svaki član izraza pojedinačno koristeći pravila svođenja. Za funkciju sin⁡(π−α), \sin(\pi - \alpha) , ugao je u drugom kvadrantu gde je sinus pozitivan, a pošto je u pitanju ceo broj π, \pi , funkcija ostaje ista:

sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha

Za član tg(α−π2), \text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) , prvo izvlačimo minus ispred zagrade jer je tangens neparna funkcija, a zatim primenjujemo pravilo za neparni umnožak π2 \frac{\pi}{2} gde funkcija prelazi u kofunkciju:

tg(−(π2−α))=−tg(π2−α)=−ctg α\text{tg}\left(-\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = -\text{ctg } \alpha

Za član u imeniocu cos⁡(3π2+α), \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) , ugao pripada četvrtom kvadrantu gde je kosinus pozitivan. Pošto je u pitanju neparni umnožak π2, \frac{\pi}{2} , kosinus prelazi u sinus:

cos⁡(3π2+α)=sin⁡α\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha

Za član ctg(π−α), \text{ctg}(\pi - \alpha) , ugao je u drugom kvadrantu gde je kotangens negativan, a funkcija ostaje ista:

ctg(π−α)=−ctg α\text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg } \alpha

Sada zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u početni izraz:

sin⁡α⋅(−ctg α)sin⁡α⋅(−ctg α)\frac{\sin \alpha \cdot (-\text{ctg } \alpha)}{\sin \alpha \cdot (-\text{ctg } \alpha)}

Primećujemo da su brojilac i imenilac identični. Skraćivanjem celog izraza (uz uslov da su funkcije definisane), dobijamo konačan rezultat:

11

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti