PrethodniSledeći
2401.

634.d

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz korišćenjem svodnih formula:

\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \cos\left(\frac{3i}{2} - \alpha\right)}{\cos(\pi + \alpha)} - \frac{\sin(2\pi - \alpha) \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{\sin(2\pi + \alpha)}
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo svodne formule za svaki trigonometrijski izraz u brojiocima i imeniocima. Prvo posmatramo prvi razlomak.

Za izraz sin⁡(π2+α), \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) , ugao je u drugom kvadrantu gde je sinus pozitivan. Pošto je u pitanju π2, \frac{\pi}{2} , funkcija prelazi u kofunkciju:

sin⁡(π2+α)=cos⁡α\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha

Za izraz cos⁡(3π2−α), \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) , ugao je u trećem kvadrantu gde je kosinus negativan. Funkcija prelazi u kofunkciju:

cos⁡(3π2−α)=−sin⁡α\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin \alpha

Za izraz cos⁡(π+α), \cos(\pi + \alpha) , ugao je u trećem kvadrantu gde je kosinus negativan. Funkcija ostaje ista:

cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha

Sada posmatramo drugi razlomak. Za izraz sin⁡(2π−α), \sin(2\pi - \alpha) , ugao je u četvrtom kvadrantu gde je sinus negativan:

sin⁡(2π−α)=−sin⁡α\sin(2\pi - \alpha) = -\sin \alpha

Za izraz cos⁡(π2+α), \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) , ugao je u drugom kvadrantu gde je kosinus negativan. Funkcija prelazi u kofunkciju:

cos⁡(π2+α)=−sin⁡α\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha

Za izraz sin⁡(2π+α), \sin(2\pi + \alpha) , ugao je u prvom kvadrantu (periodičnost):

sin⁡(2π+α)=sin⁡α\sin(2\pi + \alpha) = \sin \alpha

Zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u početni izraz:

cos⁡α⋅(−sin⁡α)−cos⁡α−(−sin⁡α)⋅(−sin⁡α)sin⁡α\frac{\cos \alpha \cdot (-\sin \alpha)}{-\cos \alpha} - \frac{(-\sin \alpha) \cdot (-\sin \alpha)}{\sin \alpha}

Sređujemo prvi i drugi razlomak skraćivanjem:

−cos⁡αsin⁡α−cos⁡α−sin⁡2αsin⁡α=sin⁡α−sin⁡α\frac{-\cos \alpha \sin \alpha}{-\cos \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha} = \sin \alpha - \sin \alpha

Konačan rezultat je:

00

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu