Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

Sadržaj

  1. Pregled svih formula
  2. Primeri

1. Pregled svih formula

Ovo su sve relacije koje se koriste u ovoj oblasti. Nije ih potrebno posebno izvoditi, ali ih treba dobro poznavati jer se primenjuju u skoro svakom zadatku.

Osnovni trigonometrijski identitet:

sin⁡2α+cos⁡2α=1\boxed{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1}

Definicije tangensa i kotangensa:

tg⁡α=sin⁡αcos⁡αctg⁡α=cos⁡αsin⁡α\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \qquad \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

tg⁡α⋅ctg⁡α=sin⁡αcos⁡α⋅cos⁡αsin⁡α=1\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 1

Identiteti dobijeni deljenjem osnovnog identiteta:

Deljenjem sa cos⁡2α\cos^2 \alpha:

sin⁡2αcos⁡2α+cos⁡2αcos⁡2α=1cos⁡2α  ⟹  1+tg⁡2α=1cos⁡2α\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \implies 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Deljenjem sa sin⁡2α\sin^2 \alpha:

sin⁡2αsin⁡2α+cos⁡2αsin⁡2α=1sin⁡2α  ⟹  1+ctg⁡2α=1sin⁡2α\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \implies 1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}

Sekans i kosekans (ređe, ali se pojavljuju):

sec⁡α=1cos⁡αcsc⁡α=1sin⁡α\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} \qquad \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}

Korisni oblici osnovnog identiteta:

sin⁡2α=1−cos⁡2αcos⁡2α=1−sin⁡2α\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \qquad \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha

Kada se oslobađa kvadrata korenovanjenjem, rezultat je apsolutna vrednost:

∣sin⁡α∣=1−cos⁡2α∣cos⁡α∣=1−sin⁡2α|\sin \alpha| = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \qquad |\cos \alpha| = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}

Znak se bira na osnovu kvadranta u kome se nalazi ugao α\alpha.

2. Primeri

2.1 Određivanje funkcija iz jedne poznate vrednosti: oštar ugao

Za oštar ugao (0<α<π20 < \alpha < \frac{\pi}{2}) sve četiri funkcije su pozitivne, pa nema dileme oko znaka.

Zadatak. Izračunati vrednosti svih trigonometrijskih funkcija oštrog ugla α\alpha ako je cos⁡α=725\cos \alpha = \dfrac{7}{25}.

Korak 1. Iz osnovnog identiteta izrazimo sin⁡2α\sin^2 \alpha:

sin⁡2α=1−cos⁡2α=1−(725)2=1−49625=576625\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}

Korak 2. Pošto je α\alpha oštar ugao, sinus je pozitivan:

sin⁡α=2425\sin \alpha = \frac{24}{25}

Korak 3. Tangens i kotangens:

tg⁡α=sin⁡αcos⁡α=2425725=247ctg⁡α=1tg⁡α=724\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = \frac{24}{7} \qquad \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{7}{24}

2.2 Određivanje funkcija iz jedne poznate vrednosti: ugao iz ostalih kvadranata

Kada ugao nije u prvom kvadrantu, mora se najpre utvrditi u kom kvadrantu se nalazi i kojeg su znaka funkcije u tom kvadrantu.

Kvadrantsin⁡\sincos⁡\costg⁡\operatorname{tg}ctg⁡\operatorname{ctg}
I (0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right)++++++++
II (π2,π)\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)++−-−-−-
III (π,3π2)\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)−-−-++++
IV (3π2,2π)\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)−-++−-−-

Zadatak. Odrediti sin⁡α\sin \alpha i cos⁡α\cos \alpha, ako je tg⁡α=−23\operatorname{tg} \alpha = -\dfrac{2}{3} i 0<α<π0 < \alpha < \pi.

Korak 1. Određujemo kvadrant. Ugao je između 00 i π\pi (prvi ili drugi kvadrant), a tangens je negativan. Tangens je negativan samo u drugom kvadrantu, dakle α∈(π2,π)\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right), pa važi sin⁡α>0\sin \alpha > 0 i cos⁡α<0\cos \alpha < 0.

Korak 2. Koristimo identitet 1+tg⁡2α=1cos⁡2α1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}:

1+(−23)2=1cos⁡2α  ⟹  139=1cos⁡2α  ⟹  cos⁡2α=9131 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \implies \frac{13}{9} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \implies \cos^2 \alpha = \frac{9}{13}

Korak 3. Pošto je kosinus negativan u drugom kvadrantu:

cos⁡α=−313=−31313\cos \alpha = -\frac{3}{\sqrt{13}} = -\frac{3\sqrt{13}}{13}

Korak 4. Sinus računamo iz definicije tangensa, sin⁡α=tg⁡α⋅cos⁡α\sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha:

sin⁡α=−23⋅(−31313)=21313\sin \alpha = -\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3\sqrt{13}}{13}\right) = \frac{2\sqrt{13}}{13}

Kvadrant određuje znak, a znak određuje koje rešenje kvadratne jednačine uzimamo. Ako se preskoči ovaj korak i uzme pozitivna vrednost bez provere kvadranta, rezultat je pogrešan.

2.3 Određivanje funkcija iz jedne poznate vrednosti: ugao zadat parametarski

Kada je funkcija izražena parametrom, postupak je isti, ali algebraski složeniji. Rezultat najčešće sadrži ±\pm jer kvadrant nije zadat.

Zadatak. Odrediti vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija, ako je sin⁡x=2t1+t2\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2}.

Korak 1. Iz osnovnog identiteta:

cos⁡2x=1−sin⁡2x=1−4t2(1+t2)2=(1+t2)2−4t2(1+t2)2\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \frac{4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{(1+t^2)^2 - 4t^2}{(1+t^2)^2}

Korak 2. Razvijamo brojioca i prepoznajemo kvadrat binoma:

cos⁡2x=1+2t2+t4−4t2(1+t2)2=(1−t2)2(1+t2)2\cos^2 x = \frac{1 + 2t^2 + t^4 - 4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{(1 - t^2)^2}{(1+t^2)^2}

Korak 3. Pošto kvadrant nije zadat, uzimamo oba znaka:

cos⁡x=±1−t21+t2\cos x = \pm\frac{1-t^2}{1+t^2}

Korak 4. Tangens i kotangens:

tg⁡x=sin⁡xcos⁡x=±2t1−t2ctg⁡x=±1−t22t\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \pm\frac{2t}{1-t^2} \qquad \operatorname{ctg} x = \pm\frac{1-t^2}{2t}

Kada je ugao zadat parametrom bez naznake kvadranta, rezultat uvek nosi ±\pm. Kada je kvadrant eksplicitno zadat, bira se tačno jedan znak.

2.4 Provera da li vrednosti mogu biti sinus i kosinus istog ugla

Da bi dve vrednosti bile sinus i kosinus istog ugla, moraju zadovoljiti sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.

Zadatak. Mogu li sinus i kosinus datog ugla α\alpha biti redom 465\dfrac{4}{\sqrt{65}} i 765\dfrac{7}{\sqrt{65}}?

(465)2+(765)2=1665+4965=6565=1✓\left(\frac{4}{\sqrt{65}}\right)^2 + \left(\frac{7}{\sqrt{65}}\right)^2 = \frac{16}{65} + \frac{49}{65} = \frac{65}{65} = 1 \checkmark

Zbir kvadrata je jednak 1, dakle date vrednosti mogu biti sinus i kosinus istog ugla.

Zadatak. Mogu li sinus i kosinus datog ugla α\alpha biti redom 16\dfrac{1}{6} i 56\dfrac{5}{6}?

(16)2+(56)2=136+2536=2636=1318≠1\left(\frac{1}{6}\right)^2 + \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} + \frac{25}{36} = \frac{26}{36} = \frac{13}{18} \neq 1

Zbir kvadrata nije jednak 1, dakle date vrednosti ne mogu biti sinus i kosinus istog ugla.

2.5 Određivanje tangensa iz date jednačine

Kada je data jednačina koja sadrži sin⁡α\sin \alpha i cos⁡α\cos \alpha, tangens se određuje deljenjem obe strane sa cos⁡α\cos \alpha, čime se dobija odnos sin⁡αcos⁡α\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.

Zadatak. Ako je 3sin⁡α−cos⁡αsin⁡α+2cos⁡α=1\dfrac{3\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + 2\cos \alpha} = 1, odrediti tg⁡α\operatorname{tg} \alpha.

Korak 1. Množimo obe strane imeniocem:

3sin⁡α−cos⁡α=sin⁡α+2cos⁡α3\sin \alpha - \cos \alpha = \sin \alpha + 2\cos \alpha

Korak 2. Grupišemo:

2sin⁡α=3cos⁡α2\sin \alpha = 3\cos \alpha

Korak 3. Delimo sa cos⁡α\cos \alpha:

2sin⁡αcos⁡α=3  ⟹  tg⁡α=32\frac{2\sin \alpha}{\cos \alpha} = 3 \implies \operatorname{tg} \alpha = \frac{3}{2}

2.6 Izračunavanje vrednosti izraza uz poznatu vrednost tangensa

Kada je dat tg⁡x\operatorname{tg} x i treba izračunati vrednost izraza koji sadrži sin⁡x\sin x i cos⁡x\cos x, standardni postupak je deljenje brojioca i imenioca istim stepenom kosinusa tako da se pojave samo tangensi.

Zadatak. Odrediti vrednost izraza sin⁡3x+cos⁡3xsin⁡3x−cos⁡3x\dfrac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin^3 x - \cos^3 x}, ako je tg⁡x=2\operatorname{tg} x = 2.

Delimo i brojilac i imenilac sa cos⁡3x\cos^3 x (što je dozvoljeno jer tg⁡x=2\operatorname{tg} x = 2 znači cos⁡x≠0\cos x \neq 0):

sin⁡3xcos⁡3x+1sin⁡3xcos⁡3x−1=tg⁡3x+1tg⁡3x−1=23+123−1=97\frac{\dfrac{\sin^3 x}{\cos^3 x} + 1}{\dfrac{\sin^3 x}{\cos^3 x} - 1} = \frac{\operatorname{tg}^3 x + 1}{\operatorname{tg}^3 x - 1} = \frac{2^3 + 1}{2^3 - 1} = \frac{9}{7}

Ovaj trik (deljenje sa stepenom kosinusa) funkcioniše uvek kada izraz sadrži sin⁡\sin i cos⁡\cos istog stepena u svakom članu, a dat je tangens.

2.7 Uprošćavanje trigonometrijskih izraza

Cilj uprošćavanja je svesti izraz na što jednostavniji oblik, idealno na konstantu ili na jednu funkciju. Dva osnovna pristupa su zamena tg⁡\operatorname{tg} i ctg⁡\operatorname{ctg} definicijama, i primena algebarskih formula u kombinaciji sa sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.

Zadatak. Uprosti: sin⁡x1+ctg⁡x+cos⁡x1+tg⁡x\dfrac{\sin x}{1 + \operatorname{ctg} x} + \dfrac{\cos x}{1 + \operatorname{tg} x}.

Zamenjujemo ctg⁡x=cos⁡xsin⁡x\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} i tg⁡x=sin⁡xcos⁡x\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}:

sin⁡x1+cos⁡xsin⁡x+cos⁡x1+sin⁡xcos⁡x=sin⁡xsin⁡x+cos⁡xsin⁡x+cos⁡xcos⁡x+sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{1 + \frac{\cos x}{\sin x}} + \frac{\cos x}{1 + \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\sin x}{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x}} + \frac{\cos x}{\frac{\cos x + \sin x}{\cos x}}

=sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x+cos⁡2xsin⁡x+cos⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡x+cos⁡x=1sin⁡x+cos⁡x= \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} + \frac{\cos^2 x}{\sin x + \cos x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{\sin x + \cos x}

Zadatak. Uprosti: tg⁡α(cos⁡α−cos⁡3α)\operatorname{tg} \alpha(\cos \alpha - \cos^3 \alpha).

Izvlačimo cos⁡α\cos \alpha iz zagrade, pa koristimo 1−cos⁡2α=sin⁡2α1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha:

tg⁡α⋅cos⁡α(1−cos⁡2α)=sin⁡αcos⁡α⋅cos⁡α⋅sin⁡2α=sin⁡3α\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha(1 - \cos^2 \alpha) = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha \cdot \sin^2 \alpha = \sin^3 \alpha

Zadatak. Uprosti: sin⁡6x+cos⁡6x+3sin⁡2xcos⁡2x\sin^6 x + \cos^6 x + 3\sin^2 x \cos^2 x.

Koristimo formulu a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) sa a=sin⁡2xa = \sin^2 x, b=cos⁡2xb = \cos^2 x:

sin⁡6x+cos⁡6x=(sin⁡2x+cos⁡2x)3−3sin⁡2xcos⁡2x(sin⁡2x+cos⁡2x)=1−3sin⁡2xcos⁡2x\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^3 - 3\sin^2 x\cos^2 x(\sin^2 x + \cos^2 x) = 1 - 3\sin^2 x\cos^2 x

Vraćamo u početni izraz:

(1−3sin⁡2xcos⁡2x)+3sin⁡2xcos⁡2x=1(1 - 3\sin^2 x\cos^2 x) + 3\sin^2 x\cos^2 x = 1

Zadatak. Uprosti: sin⁡4α−cos⁡4αsin⁡2α−cos⁡2α−sin⁡3α+cos⁡3αsin⁡α+cos⁡α\dfrac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} - \dfrac{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}.

Levi razlomak: Brojilac je razlika kvadrata: (sin⁡2α−cos⁡2α)(sin⁡2α+cos⁡2α)sin⁡2α−cos⁡2α=sin⁡2α+cos⁡2α=1\frac{(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Desni razlomak: Brojilac je zbir kubova: (sin⁡α+cos⁡α)(sin⁡2α−sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α)sin⁡α+cos⁡α=1−sin⁡αcos⁡α\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha\cos \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} = 1 - \sin \alpha\cos \alpha

Rezultat: 1−(1−sin⁡αcos⁡α)=sin⁡αcos⁡α1 - (1 - \sin \alpha\cos \alpha) = \sin \alpha\cos \alpha

Lekcije iz iste oblasti

5 lekcija

Uopštavanje pojma ugla

Adicione formule

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Trigonometrijske funkcije poluugla

Pretvaranje proizvoda trigonometrijskih funkcija

Zadaci za vežbanje

10 ukupno

Izračunati vrednosti trigonometrijskih funkcija oštrog ugla α \alpha ako je: ctgα=m. \text{ctg} \alpha = m .

Uvodni

Izračunati vrednosti trigonometrijskih funkcija oštrog ugla α \alpha ako je: cos⁡α=725 \cos \alpha = \frac{7}{25} ;

Uvodni

Odrediti vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija, ako je: cos⁡x=1−t21+t2, \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} , t∈R. t \in \mathbb{R} .

Uvodni

Odrediti vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija, ako je: sin⁡x=2t1+t2 \sin x = \frac{2t}{1+t^2} ;

Uvodni

Odrediti sin⁡α \sin \alpha i cos⁡α, \cos \alpha , ako je: ctgα=43 \text{ctg} \alpha = \frac{4}{3} i 0<α<π2 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} ;

Uvodni

Odrediti sin⁡α \sin \alpha i cos⁡α, \cos \alpha , ako je: tgα=−23 \text{tg} \alpha = -\frac{2}{3} i 0<α<π 0 < \alpha < \pi

Uvodni

Odrediti sin⁡α \sin \alpha i cos⁡α, \cos \alpha , ako je: tgα=2−3. \text{tg} \alpha = 2 - \sqrt{3} .

Uvodni

Odrediti sin⁡15∘, \sin 15^\circ , ako se zna da je cos⁡15∘=122+3. \cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}} .

Uvodni

Odrediti cos⁡22∘30′, \cos 22^\circ 30' , ako se zna da je sin⁡22∘30′=122−2. \sin 22^\circ 30' = \frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}} .

Uvodni

Mogu li sinus i kosinus datog ugla α \alpha respektivno biti: 16 \frac{1}{6} i 56? \frac{5}{6} ?

Uvodni