Sinus i kosinus ako je tangens minus 2/3

Analiziramo u kom kvadrantu se nalazi ugao $\alpha .$ Pošto je $0 < \alpha < \pi$ (prvi ili drugi kvadrant) i $\text{tg} \alpha < 0 ,$ zaključujemo da je ugao u drugom kvadrantu.

\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

U drugom kvadrantu važi da je sinus pozitivan, a kosinus negativan.

\sin \alpha > 0, \quad \cos \alpha < 0

Koristimo vezu između tangensa i kosinusa:

1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Zamenjujemo poznatu vrednost za tangens u formulu.

1 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Kvadriramo vrednost u zagradi.

1 + \frac{4}{9} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Sabiramo brojeve na levoj strani jednačine.

\frac{13}{9} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Izražavamo $\cos^2 \alpha .$

\cos^2 \alpha = \frac{9}{13}

Korenujemo jednačinu. Pošto je kosinus u drugom kvadrantu negativan, uzimamo negativno rešenje.

\cos \alpha = -\frac{3}{\sqrt{13}}

Racionališemo imenilac množenjem sa $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} .$

\cos \alpha = -\frac{3\sqrt{13}}{13}

Sada računamo sinus koristeći definiciju tangensa.

\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \implies \sin \alpha = \text{tg} \alpha \cdot \cos \alpha

Zamenjujemo poznate vrednosti za tangens i kosinus.

\sin \alpha = -\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3\sqrt{13}}{13}\right)

Množimo i dobijamo konačnu vrednost za sinus.

\sin \alpha = \frac{2\sqrt{13}}{13}

Započni učenje

Privatni časovi

597.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci