PrethodniSledeći
1989.

597.b

TEKST ZADATKA

Odrediti sin⁡α \sin \alpha i cos⁡α, \cos \alpha , ako je: tgα=−23 \text{tg} \alpha = -\frac{2}{3} i 0<α<π 0 < \alpha < \pi

REŠENJE ZADATKA

Analiziramo u kom kvadrantu se nalazi ugao α. \alpha . Pošto je 0<α<π 0 < \alpha < \pi (prvi ili drugi kvadrant) i tgα<0, \text{tg} \alpha < 0 , zaključujemo da je ugao u drugom kvadrantu.

α∈(π2,π)\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

U drugom kvadrantu važi da je sinus pozitivan, a kosinus negativan.

sin⁡α>0,cos⁡α<0\sin \alpha > 0, \quad \cos \alpha < 0

Koristimo vezu između tangensa i kosinusa:

1+tg2α=1cos⁡2α1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Zamenjujemo poznatu vrednost za tangens u formulu.

1+(−23)2=1cos⁡2α1 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Kvadriramo vrednost u zagradi.

1+49=1cos⁡2α1 + \frac{4}{9} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Sabiramo brojeve na levoj strani jednačine.

139=1cos⁡2α\frac{13}{9} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Izražavamo cos⁡2α. \cos^2 \alpha .

cos⁡2α=913\cos^2 \alpha = \frac{9}{13}

Korenujemo jednačinu. Pošto je kosinus u drugom kvadrantu negativan, uzimamo negativno rešenje.

cos⁡α=−313\cos \alpha = -\frac{3}{\sqrt{13}}

Racionališemo imenilac množenjem sa 1313. \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} .

cos⁡α=−31313\cos \alpha = -\frac{3\sqrt{13}}{13}

Sada računamo sinus koristeći definiciju tangensa.

tgα=sin⁡αcos⁡α  ⟹  sin⁡α=tgα⋅cos⁡α\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \implies \sin \alpha = \text{tg} \alpha \cdot \cos \alpha

Zamenjujemo poznate vrednosti za tangens i kosinus.

sin⁡α=−23⋅(−31313)\sin \alpha = -\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3\sqrt{13}}{13}\right)

Množimo i dobijamo konačnu vrednost za sinus.

sin⁡α=21313\sin \alpha = \frac{2\sqrt{13}}{13}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu