2003. Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

Polazimo od osnovnog trigonometrijskog identiteta i delimo obe strane sa $\cos^2 \alpha :$

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \quad \Rightarrow \quad 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Računamo vrednost za $\text{tg}^2 \alpha :$

\text{tg}^2 \alpha = (2 - \sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}

Zamenjujemo dobijenu vrednost u identitet:

1 + 7 - 4\sqrt{3} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Sređujemo izraz:

8 - 4\sqrt{3} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Izražavamo $\cos^2 \alpha :$

\cos^2 \alpha = \frac{1}{8 - 4\sqrt{3}} = \frac{1}{4(2 - \sqrt{3})}

Racionališemo imenilac množenjem brojioca i imenioca sa $2 + \sqrt{3} :$

\cos^2 \alpha = \frac{1}{4(2 - \sqrt{3})} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4(4 - 3)} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ da odredimo $\sin^2 \alpha :$

\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha

Zamenjujemo vrednost za $\cos^2 \alpha :$

\sin^2 \alpha = 1 - \frac{2 + \sqrt{3}}{4} = \frac{4 - (2 + \sqrt{3})}{4} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}

Sada računamo $\cos \alpha$ i $\sin \alpha$ korenovanjem dobijenih vrednosti:

\cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}, \quad \sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}

597.v