1988.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Odrediti sin⁡α \sin \alpha i cos⁡α, \cos \alpha , ako je: ctgα=43 \text{ctg} \alpha = \frac{4}{3} i 0<α<π2 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} ;

REŠENJE ZADATKA

Znamo da se kotangens ugla može izraziti kao količnik kosinusa i sinusa tog ugla:

ctgα=cos⁡αsin⁡α\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Zamenom date vrednosti za kotangens, možemo izraziti cos⁡α \cos \alpha preko sin⁡α: \sin \alpha :

43=cos⁡αsin⁡α  ⟹  cos⁡α=43sin⁡α\frac{4}{3} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \implies \cos \alpha = \frac{4}{3} \sin \alpha

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet:

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Zamenjujemo izraz za cos⁡α \cos \alpha u identitet:

sin⁡2α+(43sin⁡α)2=1\sin^2 \alpha + \left(\frac{4}{3} \sin \alpha\right)^2 = 1

Kvadriramo izraz u zagradi i sabiramo slične članove:

sin⁡2α+169sin⁡2α=1  ⟹  259sin⁡2α=1\sin^2 \alpha + \frac{16}{9} \sin^2 \alpha = 1 \implies \frac{25}{9} \sin^2 \alpha = 1

Množenjem jednačine sa 925 \frac{9}{25} dobijamo vrednost za kvadrat sinusa:

sin⁡2α=925\sin^2 \alpha = \frac{9}{25}

Pošto je ugao α \alpha u prvom kvadrantu (0<α<π2 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} ), vrednost sinusa mora biti pozitivna:

sin⁡α=925=35\sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}

Sada računamo vrednost za cos⁡α \cos \alpha koristeći ranije dobijenu vezu:

cos⁡α=43sin⁡α=43⋅35=45\cos \alpha = \frac{4}{3} \sin \alpha = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{5}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti