Sinus i kosinus ako je kotangens 4/3

Znamo da se kotangens ugla može izraziti kao količnik kosinusa i sinusa tog ugla:

\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Zamenom date vrednosti za kotangens, možemo izraziti $\cos \alpha$ preko $\sin \alpha :$

\frac{4}{3} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \implies \cos \alpha = \frac{4}{3} \sin \alpha

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Zamenjujemo izraz za $\cos \alpha$ u identitet:

\sin^2 \alpha + \left(\frac{4}{3} \sin \alpha\right)^2 = 1

Kvadriramo izraz u zagradi i sabiramo slične članove:

\sin^2 \alpha + \frac{16}{9} \sin^2 \alpha = 1 \implies \frac{25}{9} \sin^2 \alpha = 1

Množenjem jednačine sa $\frac{9}{25}$ dobijamo vrednost za kvadrat sinusa:

\sin^2 \alpha = \frac{9}{25}

Pošto je ugao $\alpha$ u prvom kvadrantu ( $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ ), vrednost sinusa mora biti pozitivna:

\sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}

Sada računamo vrednost za $\cos \alpha$ koristeći ranije dobijenu vezu:

\cos \alpha = \frac{4}{3} \sin \alpha = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{5}

597.a