2005. Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet.

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Izražavamo $\cos^2 \alpha$ preko $\sin^2 \alpha ,$ gde je $\alpha = 22^\circ 30' .$

\cos^2 22^\circ 30' = 1 - \sin^2 22^\circ 30'

Zamenjujemo poznatu vrednost za $\sin 22^\circ 30' .$

\cos^2 22^\circ 30' = 1 - \left(\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)^2

Kvadriramo izraz na desnoj strani.

\cos^2 22^\circ 30' = 1 - \frac{1}{4}(2-\sqrt{2})

Svodimo izraz na zajednički imenilac.

\cos^2 22^\circ 30' = \frac{4 - (2-\sqrt{2})}{4} = \frac{2+\sqrt{2}}{4}

Korenovanjem obe strane jednačine dobijamo apsolutnu vrednost kosinusa.

|\cos 22^\circ 30'| = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

Definišemo apsolutnu vrednost po definiciji.

|\cos 22^\circ 30'| = \begin{cases} \cos 22^\circ 30', & \text{za } \cos 22^\circ 30' \ge 0 \\ -\cos 22^\circ 30', & \text{za } \cos 22^\circ 30' < 0 \end{cases}

Pošto se ugao $22^\circ 30'$ nalazi u prvom kvadrantu, njegov kosinus je pozitivan ( $\cos 22^\circ 30' > 0$ ). Zato uzimamo pozitivnu granu.

\cos 22^\circ 30' = \frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}

599