Polinomi jedne promenljive

Polinom jedne promenljive je izraz oblika

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0,\qquad a_n\ne0.

Brojevi $a_n,a_{n-1},\dots,a_0$ su koeficijenti, $a_n$ je vodeći koeficijent, $a_0$ je slobodni član, a najveći izložilac $n$ je stepen polinoma. Ovakav zapis, sa članovima poređanim po opadajućim stepenima, zove se kanonski oblik polinoma. Svaki polinom pre rada svodimo na kanonski oblik.

Vrednost polinoma u tački $a$ dobijamo uvrštavanjem $x=a$ i označavamo je $P(a)$ . Na primer, za $P(x)=x^3-2x^2+3x-5$ je

P(2)=8-8+6-5=1.

Sadržaj

Identički jednaki polinomi
Deljenje polinoma
Bezuova teorema i rastavljanje polinoma na činioce

1. Identički jednaki polinomi

Dva polinoma su identički jednaka ako imaju jednake koeficijente uz iste stepene promenljive. Zato se nepoznati koeficijenti nalaze tako što oba polinoma svedemo na kanonski oblik i izjednačimo koeficijente uz $x^n,x^{n-1},\dots$ i slobodne članove.

Primer 1: Odrediti $a$ , $b$ i $c$ tako da je $2x^2-3x+5\equiv a(x-1)^2+b(x-1)+c$ .

Raspišemo desnu stranu:

a(x-1)^2+b(x-1)+c=ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c).

Izjednačimo koeficijente:

uz $x^2$ : $a=2$ ,
uz $x$ : $-2a+b=-3$ , odakle je $b=1$ ,
slobodni član: $a-b+c=5$ , odakle je $c=4$ .

2. Deljenje polinoma

Deljenje polinoma radi se isto kao deljenje brojeva. Kod brojeva je $17:5=3$ i ostatak $2$ , jer je $17=5\cdot3+2$ . Kod polinoma je

A(x)=B(x)\cdot Q(x)+R(x),

gde je $A$ deljenik, $B$ delilac, $Q$ količnik i $R$ ostatak. Deljenje se završava kada ostatak postane „manji“ od delioca, a kod polinoma to znači da mu je stepen manji od stepena delioca. Ako je $R(x)=0$ , polinom $A$ je deljiv sa $B$ .

Primer 2: Podeliti $x^4-2x^3-4x^2+24x-31$ sa $x^2+x-6$ .

Zapišemo deljenje kao na slici:

Korak 1. Gledamo samo prve članove, $x^4$ i $x^2$ . Pitamo se: sa čim treba pomnožiti $x^2$ da dobijemo $x^4$ ? Sa $x^2$ . To je prvi član količnika. Njime množimo ceo delilac:

x^2(x^2+x-6)=x^4+x^3-6x^2.

Taj proizvod treba oduzeti od deljenika. Oduzimanje radimo tako što ispod deljenika upišemo isti proizvod sa suprotnim znacima ( $-x^4-x^3+6x^2$ ) i saberemo po stepenima. Član $x^4$ nestaje, a ostaje $-3x^3+2x^2+24x$ .

Korak 2. Isto pitanje za novi prvi član: sa čim množimo $x^2$ da dobijemo $-3x^3$ ?

Sa $-3x$ . Množimo delilac:

-3x(x^2+x-6)=-3x^3-3x^2+18x.

Upisujemo suprotne znake ( $+3x^3+3x^2-18x$ ) i sabiramo. Član $x^3$ nestaje. Sada spustimo i $-31$ i dobijamo $5x^2+6x-31$ .

Korak 3. Sa čim množimo $x^2$ da dobijemo $5x^2$ ? Sa $5$ . Množimo: $5(x^2+x-6)=5x^2+5x-30$ . Upisujemo suprotne znake ( $-5x^2-5x+30$ ) i sabiramo. Ostaje $x-1$ .

Kraj. Ostatak $x-1$ je prvog stepena, a delilac je drugog, pa ne možemo dalje. Količnik je zbir svih dobijenih članova, a ostatak je poslednji red:

Q(x)=x^2-3x+5,\qquad R(x)=x-1.

Provera (kao kod brojeva): $(x^2+x-6)(x^2-3x+5)+(x-1)=x^4-2x^3-4x^2+23x-30+x-1$ , što je polazni polinom.

3. Bezuova teorema i rastavljanje polinoma na činioce

Bezuova teorema kaže da je ostatak pri deljenju polinoma $P(x)$ sa $x-a$ jednak vrednosti polinoma u tački $a$ :

\boxed{P(x):(x-a)\quad\Rightarrow\quad R=P(a)}

To znači da ne moramo da delimo polinome da bismo pronašli ostatak, dovoljno je da u polinom uvrstimo $x=a$ .

Primer 3: Odrediti ostatak pri deljenju polinoma $P(x)=x^3-2x^2+3x-5$ sa $x-2$ .

Pošto delimo sa $x-2$ , imamo $a=2$ .
Izračunamo vrednost polinoma za $x=2$ :

\begin{aligned} P(2)&=2^3-2\cdot2^2+3\cdot2-5\\ &=8-8+6-5\\ &=\boxed{1} \end{aligned}

Dakle, ostatak pri deljenju je $1$ , bez potrebe da izvršimo deljenje.

Primer 4: Odrediti ostatak pri deljenju polinoma $P(x)=x^4-2x^3+3x-7$ sa $x+1$ .

Pazimo na znak: $x+1=x-(-1)$ , pa je $a=-1$ .

P(-1)=(-1)^4-2\cdot(-1)^3+3\cdot(-1)-7=1+2-3-7=\boxed{-7}.

Ostatak je $-7$ .

Važna posledica

Ako je $P(a)=0$ , tada je polinom deljiv sa $x-a$ bez ostatka:

\boxed{P(a)=0\iff (x-a)\mid P(x)}

To znači da je $a$ nula polinoma, a $x-a$ njegov činilac.

Bezuova teorema nam omogućava da brzo pronađemo ostatak pri deljenju polinoma i da proverimo da li je neki izraz njegov činilac.

Primer: Ne izvodeći deljenje, dokazati da je $p(x)=(x^3-8)^5+(x^2-4)^3$ deljiv sa $x-2$ .

p(2)=(8-8)^5+(4-4)^3=0+0=0,

pa je po Bezuovoj teoremi $p(x)$ deljiv sa $x-2$ .

Primer: Odrediti $m$ tako da polinom $p(x)=2x^3-4mx^2+mx-2m$ bude deljiv sa $x-2$ .

Uslov deljivosti je $p(2)=0$ :

p(2)=16-16m+2m-2m=16-16m=0\quad\Rightarrow\quad m=1.

Rastavljanje na činioce

Za polinom čiji su koeficijenti celi brojevi, a vodeći koeficijent je $1$ , činioce tražimo ovako:

Nađemo nulu. Uvrstimo brojeve koji dele slobodni član (i pozitivne i negativne) dok ne dobijemo $0$ . Na primer, ako je slobodni član $6$ , probamo $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$ .
Podelimo. Ako je $P(a)=0$ , onda je $x-a$ činilac. Polinom podelimo sa $x-a$ .
Nastavimo. Dobijeni količnik rastavimo dalje, na isti način ili kao trinom iz prethodne lekcije.

Primer 5: Rastaviti na činioce $p(x)=x^3-6x^2+11x-6$ .

Delioci broja $-6$ su $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$ . Odmah je $p(1)=1-6+11-6=0$ , pa je $x-1$ činilac. Deljenjem dobijamo

p(x)=(x-1)(x^2-5x+6).

Kvadratni trinom rastavljamo tražeći brojeve sa proizvodom $6$ i zbirom $-5$ : $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ . Zato je

p(x)=(x-1)(x-2)(x-3).

Primer 6: Rastaviti na činioce $p(x)=x^4+10x^3+35x^2+50x+24$ .

Svi koeficijenti su pozitivni, pa nule tražimo među negativnim deliocima broja $24$ . Za $x=-1$ je $p(-1)=1-10+35-50+24=0$ , pa je $x+1$ činilac. Deljenjem:

p(x)=(x+1)(x^3+9x^2+26x+24).

Za količnik $q(x)=x^3+9x^2+26x+24$ je $q(-2)=-8+36-52+24=0$ , pa je $x+2$ činilac:

q(x)=(x+2)(x^2+7x+12)=(x+2)(x+3)(x+4).

Dakle, $p(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ .

Započni učenje

Privatni časovi