NZS i NZD polinoma

Najveći zajednički delilac (NZD) dva ili više polinoma je polinom najvećeg stepena koji deli svaki od njih.

Najmanji zajednički sadržalac (NZS) je polinom najmanjeg stepena koji je deljiv svakim od njih.

Računaju se isto kao za brojeve. Prvo svaki polinom rastavimo na činioce (tehnike iz lekcija o transformacijama i polinomima), pa:

NZD je proizvod činilaca koji se javljaju u svim polinomima, svaki sa najmanjim izložiocem;
NZS je proizvod svih različitih činilaca, svaki sa najvećim izložiocem.

Pazimo da činioci budu zapisani na isti način: $(x-1)$ i $(1-x)$ razlikuju se samo u znaku, pa $(1-x)$ zapišemo kao $-(x-1)$ .

Primer 1: Odrediti NZD polinoma $x^2-1$ , $x^2-3x+2$ i $x^2+x-2$ .

x^2-1=(x-1)(x+1),\qquad x^2-3x+2=(x-1)(x-2),\qquad x^2+x-2=(x-1)(x+2).

Jedini činilac koji se javlja u sva tri polinoma je $x-1$ , pa je $\text{NZD}=x-1$ .

Primer 2: Odrediti NZD polinoma $2x^4-3x^3-8x^2+12x$ i $6x^3-15x^2+6x$ .

Prvi polinom: izvučemo $x$ , pa grupišemo.

2x^4-3x^3-8x^2+12x=x\big(x^2(2x-3)-4(2x-3)\big)=x(2x-3)(x-2)(x+2).

Drugi polinom: $6x^3-15x^2+6x=3x(2x^2-5x+2)=3x(2x-1)(x-2)$ .

Zajednički činioci su $x$ i $x-2$ , pa je $\text{NZD}=x(x-2)$ .

Primer 3: Odrediti NZS polinoma $x^4-x^2$ , $x^3+2x^2+x$ i $x^2-1$ .

x^4-x^2=x^2(x-1)(x+1),\qquad x^3+2x^2+x=x(x+1)^2,\qquad x^2-1=(x-1)(x+1).

Uzimamo svaki činilac sa najvećim izložiocem: $x^2$ , $(x-1)$ i $(x+1)^2$ . Dakle,

\text{NZS}=x^2(x-1)(x+1)^2.

Primer 4: Odrediti NZS polinoma $9x^2-12xy+4y^2$ , $3x^3-2x^2y$ i $9x^2-4y^2$ .

9x^2-12xy+4y^2=(3x-2y)^2,\qquad 3x^3-2x^2y=x^2(3x-2y),\qquad 9x^2-4y^2=(3x-2y)(3x+2y).

Činioci sa najvećim izložiocima su $x^2$ , $(3x-2y)^2$ i $(3x+2y)$ :

\text{NZS}=x^2(3x-2y)^2(3x+2y).

Lekcije iz iste oblasti