4009. NZD i NZS polinoma

TEKST ZADATKA

Odrediti najveći zajednički delilac (NZD) polinoma: $3x^2 - 4x + 1$ i $4x^4 - 5x^3 + x^2 .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti prvi polinom $P(x) = 3x^2 - 4x + 1$ na činioce. Koristimo rastavljanje srednjeg člana $-4x = -3x - x .$

3x^2 - 4x + 1 = 3x^2 - 3x - x + 1 = 3x(x - 1) - (x - 1)

Izvlačimo zajednički faktor $(x - 1) .$

P(x) = (x - 1)(3x - 1)

Sada rastavljamo drugi polinom $Q(x) = 4x^4 - 5x^3 + x^2 .$ Prvo izvlačimo $x^2$ kao zajednički faktor.

Q(x) = x^2(4x^2 - 5x + 1)

Rastavljamo kvadratni trinom $4x^2 - 5x + 1$ unutar zagrade koristeći rastavljanje srednjeg člana $-5x = -4x - x .$

4x^2 - 4x - x + 1 = 4x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(4x - 1)

Zapisujemo potpuno rastavljen oblik polinoma $Q(x) .$

Q(x) = x^2(x - 1)(4x - 1)

Najveći zajednički delilac (NZD) je proizvod zajedničkih činilaca sa najmanjim eksponentom koji se pojavljuju u oba polinoma. Upoređujemo rastavljene oblike:

\begin{aligned} P(x) &= (x - 1)(3x - 1) \\ Q(x) &= x^2(x - 1)(4x - 1) \end{aligned}

Jedini zajednički činilac za oba polinoma je $(x - 1) .$

\text{NZD}(P, Q) = x - 1

612.đ