4010. NZD i NZS polinoma

TEKST ZADATKA

Odrediti najveći zajednički delilac (NZD) polinoma: $2x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 12x$ i $6x^3 - 15x^2 + 6x .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti prvi polinom $P(x) = 2x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 12x$ na činioce grupisanjem članova.

P(x) = x^3(2x - 3) - 4x(2x - 3) = (2x - 3)(x^3 - 4x)

Sada izvlačimo zajednički član $x$ iz drugog faktora i primenjujemo razliku kvadrata.

P(x) = (2x - 3) \cdot x(x^2 - 4) = x(2x - 3)(x - 2)(x + 2)

Zatim rastavljamo drugi polinom $Q(x) = 6x^3 - 15x^2 + 6x$ na činioce izvlačenjem zajedničkog člana $3x .$

Q(x) = 3x(2x^2 - 5x + 2)

Rastavljamo kvadratni trinom $2x^2 - 5x + 2$ nalaženjem nula ili rastavljanjem srednjeg člana.

2x^2 - 4x - x + 2 = 2x(x - 2) - 1(x - 2) = (x - 2)(2x - 1)

Konačan rastavljen oblik polinoma $Q(x)$ je:

Q(x) = 3x(x - 2)(2x - 1)

Upoređujemo faktore oba polinoma kako bismo pronašli zajedničke činioce.

\begin{aligned} P(x) &= x \cdot (2x - 3) \cdot (x - 2) \cdot (x + 2) \\ Q(x) &= 3 \cdot x \cdot (x - 2) \cdot (2x - 1) \end{aligned}

Najveći zajednički delilac (NZD) čine zajednički faktori sa najmanjim eksponentima.

\text{NZD}(P, Q) = x(x - 2) = x^2 - 2x

612.e