4018.

612.v

TEKST ZADATKA

Odrediti najveći zajednički delilac (NZD) polinoma:

A(x)=(x−2)3(x+1)(x2+x+1),B(x)=(x−2)2(x2+x+1)3A(x) = (x - 2)^3(x + 1)(x^2 + x + 1), \quad B(x) = (x - 2)^2(x^2 + x + 1)^3
REŠENJE ZADATKA

Najveći zajednički delilac (NZD) dva polinoma koji su već rastavljeni na proste činioce dobijamo tako što identifikujemo zajedničke činioce i uzimamo ih sa najmanjim eksponentom sa kojim se pojavljuju u oba polinoma.

Prvo identifikujemo zajedničke činioce u polinomima A(x) A(x) i B(x). B(x) . To su:

(x−2)i(x2+x+1)(x - 2) \quad \text{i} \quad (x^2 + x + 1)

Sada poredimo eksponente za zajednički činilac (x−2): (x - 2) :

U A(x) je (x−2)3,u B(x) je (x−2)2.min⁡(3,2)=2\text{U } A(x) \text{ je } (x - 2)^3, \quad \text{u } B(x) \text{ je } (x - 2)^2. \quad \min(3, 2) = 2

Zatim poredimo eksponente za zajednički činilac (x2+x+1): (x^2 + x + 1) :

U A(x) je (x2+x+1)1,u B(x) je (x2+x+1)3.min⁡(1,3)=1\text{U } A(x) \text{ je } (x^2 + x + 1)^1, \quad \text{u } B(x) \text{ je } (x^2 + x + 1)^3. \quad \min(1, 3) = 1

Činilac (x+1) (x + 1) se pojavljuje samo u polinomu A(x), A(x) , pa on ne ulazi u sastav najvećeg zajedničkog delioca.

Konačno, NZD polinoma A(x) A(x) i B(x) B(x) je proizvod zajedničkih činilaca sa minimalnim eksponentima:

NZD(A(x),B(x))=(x−2)2(x2+x+1)\text{NZD}(A(x), B(x)) = (x - 2)^2(x^2 + x + 1)