4014. NZD i NZS polinoma

TEKST ZADATKA

Odrediti najveći zajednički delilac (NZD) polinoma: $A(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4$ i $B(x) = x^2 + 4x + 3 .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti polinom $A(x)$ na činioce koristeći metodu grupisanja članova.

A(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4 = x^2(x + 1) - 4(x + 1)

Izvlačimo zajednički faktor $(x + 1) ,$ a zatim primenjujemo razliku kvadrata na preostali deo.

A(x) = (x + 1)(x^2 - 4) = (x + 1)(x - 2)(x + 2)

Sada ćemo rastaviti polinom $B(x)$ na činioce. Tražimo dva broja čiji je zbir $4$ i proizvod $3 ,$ ili koristimo kvadratnu formulu.

B(x) = x^2 + 4x + 3 = x^2 + 3x + x + 3

Grupišemo članove polinoma $B(x)$ kako bismo ga rastavili na činioce.

B(x) = x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(x + 1)

Upoređujemo faktore oba polinoma kako bismo pronašli zajedničke činioce.

\begin{aligned} A(x) &= (x + 1)(x - 2)(x + 2) \\ B(x) &= (x + 1)(x + 3) \end{aligned}

Najveći zajednički delilac (NZD) je proizvod zajedničkih faktora sa najmanjim eksponentima koji se pojavljuju u oba polinoma.

\text{NZD}(A(x), B(x)) = x + 1

612.a