Transformacije celih algebarskih racionalnih izraza

Ove formule koristimo u skoro svakom zadatku sa izrazima.

NazivFormula
Distributivni zakona(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac
Množenje zagrada(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
Razlika kvadrataa2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)
Kvadrat zbira(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
Kvadrat razlike(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Kub zbira(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
Kub razlike(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
Zbir kubovaa3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
Razlika kubovaa3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Sadržaj

  1. Množenje polinoma
  2. Rastavljanje na činioce

1. Množenje polinoma

Pri množenju polinoma svaki član prve zagrade množimo svakim članom druge zagrade, pa sredimo slične članove. Kod stepena sa istom osnovom eksponenti se sabiraju: x2⋅x3=x5x^2\cdot x^3=x^5.

Primer 1: Pomnožiti polinome 3x2−5x+63x^2-5x+6 i 2x−72x-7.

(3x2−5x+6)(2x−7)=6x3−21x2−10x2+35x+12x−42=6x3−31x2+47x−42.(3x^2-5x+6)(2x-7)=6x^3-21x^2-10x^2+35x+12x-42=6x^3-31x^2+47x-42.

Primer 2: Osloboditi se zagrada: x3(2x−1)2+(5x+3)2−x2(x+1)2x^3(2x-1)^2+(5x+3)^2-x^2(x+1)^2.

Svaki kvadrat prvo izračunamo po formuli, pa tek onda množimo:

x3(4x2−4x+1)+(25x2+30x+9)−x2(x2+2x+1).x^3(4x^2-4x+1)+(25x^2+30x+9)-x^2(x^2+2x+1).

Minus ispred poslednjeg proizvoda menja znak svakom članu:

4x5−4x4+x3+25x2+30x+9−x4−2x3−x2=4x5−5x4−x3+24x2+30x+9.4x^5-4x^4+x^3+25x^2+30x+9-x^4-2x^3-x^2=4x^5-5x^4-x^3+24x^2+30x+9.

Formule za kvadrat i kub pomažu i pri računanju napamet. Broj predstavimo kao zbir ili razliku „okruglih“ brojeva:

99⋅101=(100−1)(100+1)=1002−1=9999,99\cdot101=(100-1)(100+1)=100^2-1=9999, 1013=(100+1)3=1 000 000+30 000+300+1=1 030 301.101^3=(100+1)^3=1\,000\,000+30\,000+300+1=1\,030\,301.

Za kvadrat trinoma kvadriramo svaki član i dodamo dvostruke proizvode svih parova:

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.

2. Rastavljanje na činioce

Rastaviti polinom na činioce znači zapisati ga kao proizvod polinoma manjeg stepena. To je obrnuto od množenja, pa se tačnost uvek može proveriti množenjem činilaca.

Postoje četiri tehnike.

  1. izvlačenje zajedničkog činioca (uvek prvo),
  2. grupisanje članova,
  3. primena formula,
  4. trinom koji nije kvadrat binoma.

Izvlačenje zajedničkog činioca

Zajednički činilac čine najveći zajednički delilac koeficijenata i svako slovo sa najmanjim stepenom u kome se javlja u svim članovima. Tim činiocem podelimo svaki član i ostatak upišemo u zagradu.

Primer 3: Rastaviti na činioce 3a3b3−9a2b4+12a5b43a^3b^3-9a^2b^4+12a^5b^4.

Najveći zajednički delilac brojeva 3,9,123,9,12 je 33. Slovo aa ima najmanji stepen 22, a slovo bb ima najmanji stepen 33. Zato je zajednički činilac 3a2b33a^2b^3:

3a3b3−9a2b4+12a5b4=3a2b3 (a−3b+4a3b).3a^3b^3-9a^2b^4+12a^5b^4=3a^2b^3\,(a-3b+4a^3b).

Kada je zajednički činilac ceo član, na njegovom mestu ostaje 11, a ne 00: a2−a3=a2(1−a)a^2-a^3=a^2(1-a).

Zajednički činilac može biti i cela zagrada. Pazimo na zagrade sa suprotnim znacima: b−a=−(a−b)b-a=-(a-b).

Primer 4: Rastaviti na činioce x(a−b)+5(b−a)x(a-b)+5(b-a).

Zamenimo b−a=−(a−b)b-a=-(a-b):

x(a−b)+5(b−a)=x(a−b)−5(a−b)=(a−b)(x−5).x(a-b)+5(b-a)=x(a-b)-5(a-b)=(a-b)(x-5).

Grupisanje članova

Kada članovi nemaju zajednički činilac, grupišemo ih u parove, iz svakog para izvučemo činilac, pa se pojavi zajednička zagrada.

Primer 5: Rastaviti na činioce 4ym−4yn−m+n4ym-4yn-m+n.

4ym−4yn−m+n=4y(m−n)−(m−n)=(m−n)(4y−1).4ym-4yn-m+n=4y(m-n)-(m-n)=(m-n)(4y-1).

Pazimo na znak: −m+n=−(m−n)-m+n=-(m-n). Kada iz grupe izvučemo samo minus, u zagradi ostaje −1-1 pomnoženo sa (m−n)(m-n), pa je drugi činilac 4y−14y-1.

Primena formula

Posmatramo broj članova i oblik:

IzrazŠta proveritiFormula
dva člana, razlika kvadrataoba člana su kvadrati, između je minusa2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)
dva člana, kubovioba člana su kubovizbir ili razlika kubova
tri članadva su kvadrati, a srednji je ±2ab\pm2ab(a±b)2(a\pm b)^2
četiri članadva su kubovi, a srednja dva su ±3a2b\pm3a^2b i 3ab23ab^2(a±b)3(a\pm b)^3

Primer 6: Razlika kvadrata sa zagradom: 9x2−(x−1)29x^2-(x-1)^2.

Ovde je a=3xa=3x i b=x−1b=x-1:

9x2−(x−1)2=(3x−(x−1))(3x+(x−1))=(2x+1)(4x−1).9x^2-(x-1)^2=\big(3x-(x-1)\big)\big(3x+(x-1)\big)=(2x+1)(4x-1).

Primer 7: Rastaviti na činioce 8x3−27y38x^3-27y^3.

Kako je 8x3=(2x)38x^3=(2x)^3 i 27y3=(3y)327y^3=(3y)^3, primenjujemo razliku kubova sa a=2xa=2x i b=3yb=3y:

8x3−27y3=(2x−3y)(4x2+6xy+9y2).8x^3-27y^3=(2x-3y)\big(4x^2+6xy+9y^2\big).

Primer 8: Rastaviti na činioce 25x2+40xy+16y225x^2+40xy+16y^2.

Prvi i poslednji član su kvadrati: 25x2=(5x)225x^2=(5x)^2 i 16y2=(4y)216y^2=(4y)^2. Proverimo srednji član: 2⋅5x⋅4y=40xy2\cdot5x\cdot4y=40xy. Odgovara, pa je

25x2+40xy+16y2=(5x+4y)2.25x^2+40xy+16y^2=(5x+4y)^2.

Isto važi za kub: 27a3−135a2b+225ab2−125b3=(3a−5b)327a^3-135a^2b+225ab^2-125b^3=(3a-5b)^3, jer je 3(3a)2⋅5b=135a2b3(3a)^2\cdot5b=135a^2b i 3⋅3a⋅(5b)2=225ab23\cdot3a\cdot(5b)^2=225ab^2.

Zbir kvadrata a2+b2a^2+b^2 se ne rastavlja na realne činioce. Takođe, drugi činilac u formulama za kubove (a2±ab+b2a^2\pm ab+b^2) nije kvadrat binoma, jer ispred abab ne stoji 22.

Trinom koji nije kvadrat binoma

Za trinom x2+px+qx^2+px+q čiji srednji član ne odgovara kvadratu binoma tražimo dva broja mm i nn takva da je

x2+px+q=(x+m)(x+n)pri cˇemu jem+n=p,m⋅n=q.x^2+px+q=(x+m)(x+n)\quad\text{pri čemu je}\quad m+n=p,\quad m\cdot n=q.

To sledi iz množenja: (x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn(x+m)(x+n)=x^2+(m+n)x+mn. Prvo biramo parove brojeva čiji je proizvod qq, pa među njima nađemo onaj sa zbirom pp.

Primer 9: Rastaviti na činioce x2+6x+8x^2+6x+8.

Tražimo brojeve sa proizvodom 88 i zbirom 66. Parovi sa proizvodom 88 su (1,8)(1,8) i (2,4)(2,4), a zbir 66 daje par (2,4)(2,4):

x2+6x+8=(x+2)(x+4).x^2+6x+8=(x+2)(x+4).

Primer 10: Rastaviti na činioce x2−7x−30x^2-7x-30.

Proizvod je negativan, pa brojevi imaju različite znake, a zbir je −7-7. Odgovaraju −10-10 i 33, jer je −10⋅3=−30-10\cdot3=-30 i −10+3=−7-10+3=-7:

x2−7x−30=(x−10)(x+3).x^2-7x-30=(x-10)(x+3).

Isti postupak važi i za dve promenljive: a2+3ab−28b2=(a+7b)(a−4b)a^2+3ab-28b^2=(a+7b)(a-4b), jer je 7⋅(−4)=−287\cdot(-4)=-28 i 7+(−4)=37+(-4)=3.

Složeniji primer: kombinovanje tehnika

Kod težih zadataka koristimo više tehnika uzastopno. Rastavljamo sve dok je moguće.

Primer 11: Rastaviti na činioce 4a2b2−4ab3+b4−4b24a^2b^2-4ab^3+b^4-4b^2.

Korak 1. Svi članovi sadrže b2b^2, pa ga izvučemo:

4a2b2−4ab3+b4−4b2=b2 (4a2−4ab+b2−4).4a^2b^2-4ab^3+b^4-4b^2=b^2\,(4a^2-4ab+b^2-4).

Korak 2. U zagradi prva tri člana čine kvadrat razlike: 4a2−4ab+b2=(2a−b)24a^2-4ab+b^2=(2a-b)^2. Zato je

b2((2a−b)2−4).b^2\big((2a-b)^2-4\big).

Korak 3. Unutar zagrade je razlika kvadrata sa A=2a−bA=2a-b i B=2B=2:

b2 (2a−b−2)(2a−b+2).b^2\,(2a-b-2)(2a-b+2).

Primer 12: Rastaviti na činioce x5−xx^5-x.

x5−x=x(x4−1)=x(x2−1)(x2+1)=x(x−1)(x+1)(x2+1).x^5-x=x(x^4-1)=x(x^2-1)(x^2+1)=x(x-1)(x+1)(x^2+1).

Poslednji činilac x2+1x^2+1 je zbir kvadrata i dalje se ne rastavlja. Prva zagrada, x4−1x^4-1, bila je razlika kvadrata (x4=(x2)2x^4=(x^2)^2), pa je zbog toga postupak išao u dva koraka.