Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

Racionalni algebarski izraz je količnik dva polinoma $\dfrac{A}{B}$.

Definisan je samo kada je imenilac različit od nule, pa je prvi korak u svakom zadatku određivanje uslova definisanosti.

Uslove uvek pišemo iz početnog izraza, pre sređivanja: pošto se činilac skrati, uslov koji je on nosio ne sme da nestane.

$$\frac{3a^2-6a+3}{a^2-1}=\frac{3(a-1)^2}{(a-1)(a+1)}=\frac{3(a-1)}{a+1},\qquad a\ne1,\ a\ne-1.$$

Sadržaj

1. Skraćivanje razlomaka
2. Sabiranje i oduzimanje
3. Množenje, deljenje i složeni izrazi
4. Složeni razlomci

1. Skraćivanje razlomaka

Razlomak skraćujemo tako što brojilac i imenilac rastavimo na činioce, pa skratimo činioce koji se javljaju u oba. Na primer, razlomak $\dfrac{x^2-4}{x^2-4x+4}$:

$$\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2}=\frac{x+2}{x-2},\qquad x\ne2.$$

Skraćuju se samo činioci (delovi proizvoda), a nikada sabirci. U $\dfrac{x+3}{x}$ ne sme da se „skrati“ $x$, jer je, na primer, za $x=3$ vrednost $\dfrac63=2$, a ne $1+3=4$.

Još jedna česta zamka su suprotni činioci: $y-x=-(x-y)$, pa je

$$\frac{x-y}{y-x}=\frac{x-y}{-(x-y)}=-1.$$

Razlika kvadrata sa zagradama

Primer: $\dfrac{(xy+1)^2-(x+y)^2}{(x^2-1)(y^2-1)}$.

Brojilac izgleda komplikovano, ali ima oblik $A^2-B^2$, gde je $A=xy+1$ i $B=x+y$. Slova u formuli $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ mogu biti cele zagrade:

$$(xy+1-x-y)(xy+1+x+y).$$

Svaku od ovih zagrada dalje rastavimo grupisanjem: $xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1)$ i $xy+x+y+1=(x+1)(y+1)$. Imenilac je $(x-1)(x+1)(y-1)(y+1)$. Sve se skrati:

$$\frac{(x-1)(y-1)(x+1)(y+1)}{(x-1)(x+1)(y-1)(y+1)}=1,\qquad x\ne\pm1,\ y\ne\pm1.$$

Tri člana čine kvadrat

Primer: $\dfrac{a^2-b^2+c^2+2ac}{a^2-b^2-c^2+2bc}$.

Ni jedan od polinoma nije očigledna razlika kvadrata, ali u brojiocu članovi $a^2+2ac+c^2$ čine kvadrat $(a+c)^2$. Ostaje $-b^2$, pa je brojilac razlika kvadrata:

$$a^2+2ac+c^2-b^2=(a+c)^2-b^2=(a+c-b)(a+c+b).$$

U imeniocu je $-b^2-c^2+2bc=-(b-c)^2$, pa je

$$a^2-(b-c)^2=(a-b+c)(a+b-c).$$

Činilac $a-b+c$ je u oba, pa se skraćuje:

$$\frac{(a-b+c)(a+b+c)}{(a-b+c)(a+b-c)}=\frac{a+b+c}{a+b-c},\qquad a-b+c\ne0,\ a+b-c\ne0.$$

Dopuna do kvadrata

Primer: $\dfrac{x^4+a^2x^2+a^4}{x^3+a^3}$.

Brojilac liči na kvadrat $(x^2+a^2)^2=x^4+2a^2x^2+a^4$, ali mu fali još jedan član $a^2x^2$. Zato taj član dodamo i oduzmemo. Vrednost se ne menja, a dobijamo razliku kvadrata:

$$x^4+a^2x^2+a^4=\underbrace{x^4+2a^2x^2+a^4}_{(x^2+a^2)^2}-a^2x^2=(x^2+a^2)^2-(ax)^2=(x^2-ax+a^2)(x^2+ax+a^2).$$

Imenilac je zbir kubova: $x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2)$. Zajednički činilac je $x^2-ax+a^2$:

$$\frac{(x^2-ax+a^2)(x^2+ax+a^2)}{(x+a)(x^2-ax+a^2)}=\frac{x^2+ax+a^2}{x+a},\qquad x\ne-a.$$

Izložioci sa slovom

Primer: $\dfrac{a^{2x}-a^{2y}}{a^{2x}+a^xa^y}$.

Izložioci sa slovom se ponašaju kao obični stepeni. Važi $a^{2x}=(a^x)^2$ i $a^{2y}=(a^y)^2$, pa je brojilac razlika kvadrata. U imeniocu izvučemo zajednički činilac $a^x$:

$$\frac{(a^x)^2-(a^y)^2}{a^x(a^x+a^y)}=\frac{(a^x-a^y)(a^x+a^y)}{a^x(a^x+a^y)}=\frac{a^x-a^y}{a^x}.$$

2. Sabiranje i oduzimanje

Razlomke sa različitim imeniocima prvo svedemo na zajednički imenilac. Posmatrajmo $\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{2}{x+1}$. Imenioci su različiti, pa svaki razlomak proširimo imeniocem onog drugog:

$$\frac{3}{x-1}+\frac{2}{x+1}=\frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)}+\frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{3x+3+2x-2}{(x-1)(x+1)}=\frac{5x+1}{x^2-1}.$$

Zajednički imenilac nalazimo tako što imenioce rastavimo na činioce i uzmemo svaki činilac jednom, sa najvećim izložiocem (to je NZS iz prethodne lekcije). Kod težih zadataka pazimo na dva mesta, koja ćemo pokazati u sledećem primeru.

3. Množenje, deljenje i složeni izrazi

Pri množenju razlomaka brojioce množimo brojiocima, a imenioce imeniocima, ali je mnogo lakše da prvo sve rastavimo na činioce i skratimo. Deljenje zamenjujemo množenjem recipročnom vrednošću delioca (brojilac i imenilac zamene mesta).

4. Složeni razlomci

Složeni razlomak ima razlomke u brojiocu ili imeniocu. Postupak je u dva koraka:

1. Ceo brojilac svedemo na jedan razlomak i ceo imenilac svedemo na jedan razlomak (zajednički imenilac, kao u poglavlju 2).
2. Dobijeni razlomak podelimo: spoljašnje članove množimo sa spoljašnjim, a unutrašnje sa unutrašnjim.

Pravilo za drugi korak, sa bojama (plavo je spoljašnje, crveno unutrašnje):

$$\frac{\dfrac{\textcolor{#2563eb}{A}}{\textcolor{#dc2626}{B}}}{\dfrac{\textcolor{#dc2626}{C}}{\textcolor{#2563eb}{D}}}=\dfrac{\textcolor{#2563eb}{A}\cdot\textcolor{#2563eb}{D}}{\textcolor{#dc2626}{B}\cdot\textcolor{#dc2626}{C}}.$$

Na primer, $\dfrac{\frac23}{\frac45}$: spoljašnji su $2$ i $5$, a unutrašnji $3$ i $4$, pa je $\dfrac{2\cdot5}{3\cdot4}=\dfrac{10}{12}=\dfrac56$.