4043. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

TEKST ZADATKA

Odrediti uslove pod kojima je definisan razlomak: $\frac{x + y}{x^2 - 5xy + 6y^2} .$

REŠENJE ZADATKA

Razlomak je definisan ako je njegov imenilac različit od nule. Postavljamo uslov:

x^2 - 5xy + 6y^2 \neq 0

Da bismo lakše odredili kada je izraz jednak nuli, rastavljamo kvadratni trinom $x^2 - 5xy + 6y^2$ na činioce. Koristimo metod rastavljanja srednjeg člana $-5xy$ na $-2xy - 3xy :$

x^2 - 2xy - 3xy + 6y^2 \neq 0

Sada grupišemo članove i izdvajamo zajedničke faktore:

x(x - 2y) - 3y(x - 2y) \neq 0

Izdvajamo zajednički zagradni izraz $(x - 2y) :$

(x - 2y)(x - 3y) \neq 0

Proizvod dva činitelja je različit od nule ako i samo ako je svaki od njih različit od nule:

x - 2y \neq 0 \quad \text{i} \quad x - 3y \neq 0

Izražavamo uslove preko promenljivih:

x \neq 2y \quad \text{i} \quad x \neq 3y

Konačni uslovi pod kojima je razlomak definisan su:

\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \neq 2y, x \neq 3y\}

617.е