4199.

627.d

TEKST ZADATKA

Uprostiti racionalni izraz i odrediti uslove definisanosti:

\frac{x}{x^2-9y^2} - rac{1}{x+3y}
REŠENJE ZADATKA

Prvo rastavljamo imenilac prvog razlomka koristeći formulu za razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b). a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) .

x2−9y2=x2−(3y)2=(x−3y)(x+3y)x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x - 3y)(x + 3y)

Određujemo uslove definisanosti izraza. Imenilac ne sme biti jednak nuli.

x+3y≠0  ⟹  x≠−3yx−3y≠0  ⟹  x≠3yx + 3y \neq 0 \implies x \neq -3y \\ x - 3y \neq 0 \implies x \neq 3y

Sada zapisujemo izraz sa rastavljenim imeniocem.

x(x−3y)(x+3y)−1x+3y\frac{x}{(x-3y)(x+3y)} - \frac{1}{x+3y}

Svodimo razlomke na najmanji zajednički imenilac, što je (x−3y)(x+3y). (x-3y)(x+3y) . Drugi razlomak proširujemo sa (x−3y). (x-3y) .

x−1⋅(x−3y)(x−3y)(x+3y)\frac{x - 1 \cdot (x - 3y)}{(x - 3y)(x + 3y)}

Oslobađamo se zagrade u brojitelju i sređujemo izraz.

x−x+3y(x−3y)(x+3y)=3y(x−3y)(x+3y)\frac{x - x + 3y}{(x - 3y)(x + 3y)} = \frac{3y}{(x - 3y)(x + 3y)}

Konačan rezultat uz navedene uslove je:

3yx2−9y2,x≠±3y\frac{3y}{x^2 - 9y^2}, \quad x \neq \pm 3y