4166.

633.v

TEKST ZADATKA

Srediti dati izraz i odrediti uslove pod kojima je on definisan:

x2−y22x−y⋅y2−xy4x−2y\frac{x^2-y^2}{2x-y} \cdot \frac{y^2-xy}{4x-2y}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenitelji svih razlomaka moraju biti različiti od nule.

2x−y≠0  ⟹  y≠2x4x−2y≠0  ⟹  2(2x−y)≠0  ⟹  y≠2x2x - y \neq 0 \implies y \neq 2x \\ 4x - 2y \neq 0 \implies 2(2x - y) \neq 0 \implies y \neq 2x

Rastavljamo brojioce i imenitelje na činioce kako bismo mogli da skratimo izraz. Koristimo razliku kvadrata x2−y2=(x−y)(x+y) x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) i izvlačenje zajedničkog ispred zagrade.

(x−y)(x+y)2x−y⋅y(y−x)2(2x−y)\frac{(x-y)(x+y)}{2x-y} \cdot \frac{y(y-x)}{2(2x-y)}

Primetimo da je y−x=−(x−y). y-x = -(x-y) . Zamenjujemo ovaj izraz u brojilac drugog razlomka radi lakšeg skraćivanja.

(x−y)(x+y)2x−y⋅−y(x−y)2(2x−y)\frac{(x-y)(x+y)}{2x-y} \cdot \frac{-y(x-y)}{2(2x-y)}

Množimo razlomke tako što pomnožimo brojioce i imenitelje.

−y(x−y)2(x+y)2(2x−y)2\frac{-y(x-y)^2(x+y)}{2(2x-y)^2}

Konačan sređen izraz uz navedeni uslov je:

I=−y(x−y)2(x+y)2(2x−y)2,y≠2xI = -\frac{y(x-y)^2(x+y)}{2(2x-y)^2}, \quad y \neq 2x