4165.

633.ž

TEKST ZADATKA

Srediti dati izraz i odrediti uslove definisanosti:

ab+b2−ac−bca2−ab+ac−bc:a2+ab−ac−bcab−b2−ac+bc\frac{ab+b^2-ac-bc}{a^2-ab+ac-bc} : \frac{a^2+ab-ac-bc}{ab-b^2-ac+bc}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti na činioce brojioce i imenioce svih razlomaka koristeći metodu grupisanja članova.

ab+b2−ac−bc=b(a+b)−c(a+b)=(a+b)(b−c)a2−ab+ac−bc=a(a−b)+c(a−b)=(a−b)(a+c)a2+ab−ac−bc=a(a+b)−c(a+b)=(a+b)(a−c)ab−b2−ac+bc=b(a−b)−c(a−b)=(a−b)(b−c)\begin{aligned} ab+b^2-ac-bc &= b(a+b) - c(a+b) = (a+b)(b-c) \\ a^2-ab+ac-bc &= a(a-b) + c(a-b) = (a-b)(a+c) \\ a^2+ab-ac-bc &= a(a+b) - c(a+b) = (a+b)(a-c) \\ ab-b^2-ac+bc &= b(a-b) - c(a-b) = (a-b)(b-c) \end{aligned}

Sada zamenjujemo rastavljene izraze u početni izraz:

(a+b)(b−c)(a−b)(a+c):(a+b)(a−c)(a−b)(b−c)\frac{(a+b)(b-c)}{(a-b)(a+c)} : \frac{(a+b)(a-c)}{(a-b)(b-c)}

Pre daljeg računanja, određujemo uslove definisanosti. Imenioci ne smeju biti nula, a kod deljenja i brojilac drugog razlomka mora biti različit od nule:

a−b≠0  ⟹  a≠ba+c≠0  ⟹  a≠−ca+b≠0  ⟹  a≠−ba−c≠0  ⟹  a≠cb−c≠0  ⟹  b≠c\begin{aligned} a-b \neq 0 &\implies a \neq b \\ a+c \neq 0 &\implies a \neq -c \\ a+b \neq 0 &\implies a \neq -b \\ a-c \neq 0 &\implies a \neq c \\ b-c \neq 0 &\implies b \neq c \end{aligned}

Deljenje razlomaka pretvaramo u množenje recipročnom vrednošću drugog razlomka:

(a+b)(b−c)(a−b)(a+c)⋅(a−b)(b−c)(a+b)(a−c)\frac{(a+b)(b-c)}{(a-b)(a+c)} \cdot \frac{(a-b)(b-c)}{(a+b)(a-c)}

Sada vršimo skraćivanje zajedničkih činilaca (a+b) (a+b) i (a−b): (a-b) :

(a+b)(b−c)(a−b)(a+c)⋅(a−b)(b−c)(a+b)(a−c)=(b−c)(b−c)(a+c)(a−c)\frac{\cancel{(a+b)}(b-c)}{\cancel{(a-b)}(a+c)} \cdot \frac{\cancel{(a-b)}(b-c)}{\cancel{(a+b)}(a-c)} = \frac{(b-c)(b-c)}{(a+c)(a-c)}

Konačan rezultat zapisujemo u sređenom obliku:

(b−c)2a2−c2\frac{(b-c)^2}{a^2-c^2}