4164.

633.g

TEKST ZADATKA

Srediti dati izraz i odrediti uslove definisanosti:

x−ax2ax−2⋅2ax−4a2x2−1\frac{x-ax^2}{ax-2} \cdot \frac{2ax-4}{a^2x^2-1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo vršimo faktorizaciju brojioca i imenioca u oba razlomka kako bismo lakše uočili faktore za skraćivanje.

x(1−ax)ax−2⋅2(ax−2)(ax−1)(ax+1)\frac{x(1-ax)}{ax-2} \cdot \frac{2(ax-2)}{(ax-1)(ax+1)}

Pre skraćivanja, moramo odrediti uslove pod kojima je izraz definisan. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli.

ax−2≠0  ⟹  ax≠2a2x2−1≠0  ⟹  (ax−1)(ax+1)≠0ax-2 \neq 0 \implies ax \neq 2 \\ a^2x^2-1 \neq 0 \implies (ax-1)(ax+1) \neq 0

Iz uslova definisanosti dobijamo sledeća ograničenja za promenljive:

ax≠2,ax≠1,ax≠−1ax \neq 2, \quad ax \neq 1, \quad ax \neq -1

Sada možemo skratiti zajedničke faktore. Primetimo da je 1−ax=−(ax−1). 1-ax = -(ax-1) .

−x(ax−1)ax−2⋅2(ax−2)(ax−1)(ax+1)\frac{-x(ax-1)}{ax-2} \cdot \frac{2(ax-2)}{(ax-1)(ax+1)}

Skraćivanjem faktora ax−2 ax-2 i ax−1, ax-1 , dobijamo finalni oblik izraza.

−x⋅2ax+1=−2xax+1\frac{-x \cdot 2}{ax+1} = -\frac{2x}{ax+1}

Konačno rešenje uz navedene uslove je:

−2xax+1,ax∉{−1,1,2}-\frac{2x}{ax+1}, \quad ax \notin \{-1, 1, 2\}