3970. Polinomi jedne promenljive

TEKST ZADATKA

Odrediti vrednost polinoma $P(x)$ u tački $a$ ako je: $P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 5 ,$ $a = 1 - \sqrt{2} .$

REŠENJE ZADATKA

Da bismo odredili vrednost polinoma u datoj tački, zamenićemo svako $x$ u izrazu sa $1 - \sqrt{2} .$

P(1 - \sqrt{2}) = (1 - \sqrt{2})^3 - 2(1 - \sqrt{2})^2 + 3(1 - \sqrt{2}) - 5

Prvo računamo kvadrat binoma $(1 - \sqrt{2})^2 .$ Koristimo formulu za kvadrat binoma $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 .$

(1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}

Zatim računamo kub binoma $(1 - \sqrt{2})^3 .$ Možemo ga zapisati kao proizvod $(1 - \sqrt{2}) \cdot (1 - \sqrt{2})^2$ i iskoristiti prethodni rezultat.

(1 - \sqrt{2})^3 = (1 - \sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2 \cdot 2 = 7 - 5\sqrt{2}

Sada menjamo dobijene vrednosti za kvadrat i kub nazad u izraz za polinom.

P(1 - \sqrt{2}) = (7 - 5\sqrt{2}) - 2(3 - 2\sqrt{2}) + 3(1 - \sqrt{2}) - 5

Oslobađamo se zagrada množenjem svakog člana u zagradi odgovarajućim koeficijentom.

P(1 - \sqrt{2}) = 7 - 5\sqrt{2} - 6 + 4\sqrt{2} + 3 - 3\sqrt{2} - 5

Grupišemo cele brojeve i sabirke koji sadrže $\sqrt{2} .$

P(1 - \sqrt{2}) = (7 - 6 + 3 - 5) + (-5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2})

Sređivanjem izraza dobijamo konačnu vrednost polinoma.

P(1 - \sqrt{2}) = -1 - 4\sqrt{2}

600.b