3970.

600.b

TEKST ZADATKA

Odrediti vrednost polinoma P(x) P(x) u tački a a ako je: P(x)=x3−2x2+3x−5, P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 5 , a=1−2. a = 1 - \sqrt{2} .

REŠENJE ZADATKA

Da bismo odredili vrednost polinoma u datoj tački, zamenićemo svako x x u izrazu sa 1−2. 1 - \sqrt{2} .

P(1−2)=(1−2)3−2(1−2)2+3(1−2)−5P(1 - \sqrt{2}) = (1 - \sqrt{2})^3 - 2(1 - \sqrt{2})^2 + 3(1 - \sqrt{2}) - 5

Prvo računamo kvadrat binoma (1−2)2. (1 - \sqrt{2})^2 . Koristimo formulu za kvadrat binoma (A−B)2=A2−2AB+B2. (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 .

(1−2)2=12−2⋅1⋅2+(2)2=1−22+2=3−22(1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}

Zatim računamo kub binoma (1−2)3. (1 - \sqrt{2})^3 . Možemo ga zapisati kao proizvod (1−2)⋅(1−2)2 (1 - \sqrt{2}) \cdot (1 - \sqrt{2})^2 i iskoristiti prethodni rezultat.

(1−2)3=(1−2)(3−22)=3−22−32+2⋅2=7−52(1 - \sqrt{2})^3 = (1 - \sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2 \cdot 2 = 7 - 5\sqrt{2}

Sada menjamo dobijene vrednosti za kvadrat i kub nazad u izraz za polinom.

P(1−2)=(7−52)−2(3−22)+3(1−2)−5P(1 - \sqrt{2}) = (7 - 5\sqrt{2}) - 2(3 - 2\sqrt{2}) + 3(1 - \sqrt{2}) - 5

Oslobađamo se zagrada množenjem svakog člana u zagradi odgovarajućim koeficijentom.

P(1−2)=7−52−6+42+3−32−5P(1 - \sqrt{2}) = 7 - 5\sqrt{2} - 6 + 4\sqrt{2} + 3 - 3\sqrt{2} - 5

Grupišemo cele brojeve i sabirke koji sadrže 2. \sqrt{2} .

P(1−2)=(7−6+3−5)+(−52+42−32)P(1 - \sqrt{2}) = (7 - 6 + 3 - 5) + (-5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2})

Sređivanjem izraza dobijamo konačnu vrednost polinoma.

P(1−2)=−1−42P(1 - \sqrt{2}) = -1 - 4\sqrt{2}