3969.

601.d

TEKST ZADATKA

Podeliti polinome: x4−2x3−4x2+24x−31 x^4 - 2x^3 - 4x^2 + 24x - 31 sa x2+x−6. x^2 + x - 6 .

REŠENJE ZADATKA

Postupak deljenja polinoma započinjemo tako što podelimo član sa najvećim stepenom deljenika (x4 x^4 ) sa članom sa najvećim stepenom delioca (x2 x^2 ). Dobijamo prvi član količnika: x4:x2=x2. x^4 : x^2 = x^2 .

(x4−2x3−4x2+24x−31):(x2+x−6)=x2(x^4 - 2x^3 - 4x^2 + 24x - 31) : (x^2 + x - 6) = x^2

Množimo dobijeni član količnika x2 x^2 sa celim deliocem x2+x−6 x^2 + x - 6 i taj rezultat potpisujemo ispod deljenika. Zatim oduzimamo taj izraz od deljenika (odnosno menjamo mu znak i sabiramo).

(x4−2x3−4x2+24x−31):(x2+x−6)=x2−(x4+x3−6x2)−3x3+2x2+24x−31‾\begin{aligned} &(x^4 - 2x^3 - 4x^2 + 24x - 31) : (x^2 + x - 6) = x^2 \\ -&(x^4 + x^3 - 6x^2) \\ &\overline{\quad -3x^3 + 2x^2 + 24x - 31} \end{aligned}

Ponavljamo postupak sa novim izrazom. Delimo njegov vodeći član −3x3 -3x^3 sa vodećim članom delioca x2. x^2 . Dobijamo −3x. -3x . Množimo −3x -3x sa deliocem i ponovo oduzimamo.

(x4−2x3−4x2+24x−31):(x2+x−6)=x2−3x−(x4+x3−6x2)−3x3+2x2+24x−31‾−(−3x3−3x2+18x)5x2+6x−31‾\begin{aligned} &(x^4 - 2x^3 - 4x^2 + 24x - 31) : (x^2 + x - 6) = x^2 - 3x \\ -&(x^4 + x^3 - 6x^2) \\ &\overline{\quad -3x^3 + 2x^2 + 24x - 31} \\ -&(-3x^3 - 3x^2 + 18x) \\ &\overline{\qquad\quad 5x^2 + 6x - 31} \end{aligned}

Još jednom ponavljamo postupak. Delimo 5x2 5x^2 sa x2 x^2 i dobijamo 5. 5 . Množimo 5 5 sa deliocem i oduzimamo od preostalog izraza.

(x4−2x3−4x2+24x−31):(x2+x−6)=x2−3x+5−(x4+x3−6x2)−3x3+2x2+24x−31‾−(−3x3−3x2+18x)5x2+6x−31‾−(5x2+5x−30)x−1‾\begin{aligned} &(x^4 - 2x^3 - 4x^2 + 24x - 31) : (x^2 + x - 6) = x^2 - 3x + 5 \\ -&(x^4 + x^3 - 6x^2) \\ &\overline{\quad -3x^3 + 2x^2 + 24x - 31} \\ -&(-3x^3 - 3x^2 + 18x) \\ &\overline{\qquad\quad 5x^2 + 6x - 31} \\ -&(5x^2 + 5x - 30) \\ &\overline{\qquad\qquad\quad x - 1} \end{aligned}

Pošto je stepen dobijenog ostatka x−1 x - 1 (stepen 1) manji od stepena delioca x2+x−6 x^2 + x - 6 (stepen 2), postupak deljenja je završen. Količnik je Q(x)=x2−3x+5, Q(x) = x^2 - 3x + 5 , a ostatak je R(x)=x−1. R(x) = x - 1 . Rezultat možemo zapisati u obliku A=BQ+R. A = BQ + R .

x4−2x3−4x2+24x−31=(x2+x−6)(x2−3x+5)+(x−1)x^4 - 2x^3 - 4x^2 + 24x - 31 = (x^2 + x - 6)(x^2 - 3x + 5) + (x - 1)