3965. Polinomi jedne promenljive

TEKST ZADATKA

Odrediti količnik polinoma: $(27 + 8a^3) : (3 + 2a) ,$ uz uslov $a \neq -\frac{3}{2} .$

REŠENJE ZADATKA

Primetimo da je deljenik zbir kubova. Prvo ćemo ga zapisati u standardnom obliku i prepoznati članove za formulu $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) .$

8a^3 + 27 = (2a)^3 + 3^3

Primenjujemo formulu za zbir kubova na izraz $(2a)^3 + 3^3 :$

8a^3 + 27 = (2a + 3)((2a)^2 - (2a)(3) + 3^2)

Sređujemo izraz u drugoj zagradi:

8a^3 + 27 = (2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)

Sada delimo dobijeni proizvod sa deliocem $(3 + 2a) ,$ što je isto što i $(2a + 3) :$

\frac{8a^3 + 27}{2a + 3} = \frac{(2a + 3)(4a^2 - 6a + 9)}{2a + 3}

Skraćivanjem zajedničkog faktora $(2a + 3) ,$ dobijamo konačan rezultat:

4a^2 - 6a + 9

599.d