Funkcije

Funkcija je pravilo kojim se svakom elementu jednog skupa pridružuje tačno jedan element drugog skupa. Zapis $f:A\to B$ govori da funkcija $f$ preslikava skup $A$ u skup $B$, a zapis $y=f(x)$ da se element $x$ preslikava u element $y$. Funkcije možemo zadati uređenim parovima, tablicom, formulom ili dijagramom. Nad funkcijama možemo računati kompoziciju, ispitivati injektivnost i surjektivnost i, kada je funkcija bijektivna, odrediti njenu inverznu funkciju.

Sadržaj

1. Funkcije i načini zadavanja
2. Kompozicija funkcija
3. Injektivnost, surjektivnost, bijektivnost i inverzna funkcija

1. Funkcije i načini zadavanja

Pojam funkcije

Neka su $A$ i $B$ neprazni skupovi. Funkcija

$$f:A\to B$$

svakom elementu $x\in A$ pridružuje tačno jedan element $y\in B$. Taj element označavamo sa $f(x)$ i nazivamo slikom elementa $x$:

$$y=f(x).$$

Pri tome razlikujemo tri skupa:

Pojam	Značenje
Domen	Skup svih dozvoljenih ulaznih vrednosti, ovde skup $A$
Kodomen	Skup u koji funkcija preslikava, ovde skup $B$
Skup vrednosti ili slika funkcije	Skup stvarno dobijenih vrednosti $f(x)$

Skup vrednosti označavamo sa

$$f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.$$

Domen funkcije označavaćemo i sa $D(f)$, pa je u ovom slučaju $D(f)=A$.

Uvek važi

$$f(A)\subseteq B,$$

ali skup vrednosti ne mora biti jednak kodomenu.

Da bi pravilo bilo funkcija iz skupa $A$ u skup $B$, moraju biti ispunjena dva uslova:

1. svaki element skupa $A$ ima sliku;
2. svaki element skupa $A$ ima samo jednu sliku.

Različiti elementi domena mogu imati istu sliku. Takođe, neki elementi kodomena ne moraju biti ničije slike. Nijedna od ove dve pojave ne narušava definiciju funkcije.

Funkcija kao skup uređenih parova

Funkcija je posebna vrsta relacije. Na konačnim skupovima možemo je zapisati skupom uređenih parova

$$f=\{(x,f(x))\mid x\in A\}.$$

Prva koordinata pripada domenu, a druga predstavlja njenu sliku.

Funkciju $F_1$ možemo predstaviti i dijagramom preslikavanja:

Svaki element levog skupa ima tačno jednu izlaznu strelicu. Elementi $2$ i $4$ imaju istu sliku $b$, što je kod funkcije dozvoljeno.

Tablični zapis funkcije

Funkciju na konačnim skupovima često zapisujemo u dva reda. U gornjem redu navodimo elemente domena, a ispod svakog elementa njegovu sliku:

$$f= \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 3&4&2&1 \end{pmatrix}.$$

Iz ovog zapisa čitamo

$$f(1)=3, \quad f(2)=4, \quad f(3)=2, \quad f(4)=1.$$

Ista funkcija zapisana kao skup parova glasi

$$f=\{(1,3),(2,4),(3,2),(4,1)\}.$$

Broj funkcija između konačnih skupova

Ako skup $A$ ima $m$ elemenata, a skup $B$ ima $n$ elemenata, svaki element skupa $A$ može nezavisno dobiti bilo koju od $n$ slika. Zato je broj svih funkcija $f:A\to B$ jednak

$$n^m=|B|^{|A|}.$$

Funkcija zadata formulom

Kada je funkcija zadata formulom, njenu vrednost računamo tako što svaki primerak promenljive u formuli zamenimo zadatim argumentom.

Pri određivanju domena formule isključujemo vrednosti za koje izraz nije definisan. Na primer, funkcija

$$g(x)=\frac{2x+1}{x-1}$$

nije definisana za $x=1$, pa je njen prirodni domen $\mathbb R\setminus\{1\}$.

Jednačine sa funkcijama

Jednačinu poput $f(x)=c$ rešavamo tako što umesto $f(x)$ unesemo formulu funkcije, rešimo dobijenu jednačinu i proverimo da li rešenje pripada domenu.

2. Kompozicija funkcija

Neka su date funkcije

$$g:A\to B \qquad\text{i}\qquad f:B\to C.$$

Kompozicija funkcija $f$ i $g$ jeste funkcija $f\circ g:A\to C$ definisana sa

$$(f\circ g)(x)=f(g(x)).$$

Najpre primenjujemo funkciju koja je bliža argumentu, a zatim spoljašnju funkciju. U zapisu $f\circ g$ prvo primenjujemo $g$, pa onda $f$:

$$x\xrightarrow{g}g(x)\xrightarrow{f}f(g(x)).$$

Kompozicija je definisana kada svaka vrednost funkcije $g$ pripada domenu funkcije $f$. Preciznije, potrebno je da važi

$$g(A)\subseteq D(f).$$

Računanje vrednosti kompozicije

Formula kompozicije

Da bismo odredili formulu kompozicije, celu formulu unutrašnje funkcije unosimo umesto argumenta spoljašnje funkcije.

Višestruka kompozicija

Kompoziciju funkcije sa samom sobom označavamo stepenom:

$$f^2=f\circ f, \qquad f^3=f\circ f\circ f.$$

Ovaj stepen ne predstavlja obično stepenovanje vrednosti funkcije. Važi

$$f^2(x)=f(f(x)),$$

a ne $f^2(x)=(f(x))^2$.

Kompozicija je asocijativna. Kada su sve kompozicije definisane, važi

$$(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h).$$

Zagrade zato možemo izostaviti kod višestruke kompozicije. Redosled funkcija ipak ostaje važan.

Kompozicija funkcija na konačnim skupovima

Ako su funkcije zadate tablicom ili skupom parova, kompoziciju računamo prateći slike elemenata, počevši od unutrašnje funkcije.

Identitet funkcija

Identička funkcija na skupu $A$ definisana je sa

$$\operatorname{id}_A(x)=x$$

za svaki $x\in A$. Ona ne menja argument, pa za svaku funkciju $f:A\to B$ važi

$$f\circ\operatorname{id}_A=f$$

i

$$\operatorname{id}_B\circ f=f.$$

Identička funkcija ima važnu ulogu pri definisanju inverzne funkcije.

3. Injektivnost, surjektivnost, bijektivnost i inverzna funkcija

Svojstva funkcije uvek posmatramo u odnosu na njen domen i kodomen. Ista formula sa različitim domenom ili kodomenom može imati različita svojstva.

Injektivna funkcija

Funkcija $f:A\to B$ je injektivna ili 1-1 ako različiti elementi domena imaju različite slike. Formalno,

$$(\forall x_1,x_2\in A)\; f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2.$$

Ekvivalentno,

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2).$$

Kod funkcije zadate na konačnom skupu proveravamo da li se neka vrednost u redu slika ponavlja. Ako dva različita elementa imaju istu sliku, funkcija nije injektivna.

Surjektivna funkcija

Funkcija $f:A\to B$ je surjektivna ili NA ako je svaki element kodomena slika bar jednog elementa domena:

$$(\forall y\in B)(\exists x\in A)\;f(x)=y.$$

To je ekvivalentno uslovu

$$f(A)=B.$$

Kod funkcije na konačnom skupu proveravamo da li se svaki element kodomena pojavljuje među vrednostima funkcije.

Bijektivna funkcija

Funkcija je bijektivna ili bijekcija ako je istovremeno injektivna i surjektivna.

Vrsta funkcije	Šta proveravamo
Injektivna	Različiti elementi domena imaju različite slike
Surjektivna	Svaki element kodomena ima bar jedan original
Bijektivna	Svaki element kodomena ima tačno jedan original

Ako su domen i kodomen konačni skupovi sa jednakim brojem elemenata, injektivnost povlači surjektivnost i surjektivnost povlači injektivnost. Ovu činjenicu ne možemo bez dodatnih uslova preneti na beskonačne skupove.

Dokazivanje bijektivnosti funkcije zadate formulom

Injektivnost dokazujemo tako što pretpostavimo $f(x_1)=f(x_2)$ i iz te jednakosti izvedemo $x_1=x_2$. Surjektivnost dokazujemo tako što za proizvoljno $y$ iz kodomena rešimo jednačinu $f(x)=y$ i pokažemo da dobijeno $x$ pripada domenu.

Inverzna funkcija

Ako je $f:A\to B$ bijekcija, postoji funkcija

$$f^{-1}:B\to A$$

koja poništava dejstvo funkcije $f$. Ona je određena uslovima

$$f^{-1}(f(x))=x$$

za svaki $x\in A$ i

$$f(f^{-1}(y))=y$$

za svaki $y\in B$. Pomoću identičkih funkcija to zapisujemo kao

$$f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A$$

i

$$f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B.$$

Kod inverzne funkcije domen i kodomen menjaju mesta. Par $(x,y)$ funkcije $f$ postaje par $(y,x)$ funkcije $f^{-1}$.

Određivanje formule inverzne funkcije

Inverznu funkciju zadatu formulom određujemo ovako:

1. napišemo $y=f(x)$;
2. izrazimo $x$ preko $y$;
3. zamenimo oznake $x$ i $y$;
4. navedemo domen inverzne funkcije;
5. rezultat proverimo kompozicijom.

Grafici međusobno inverznih funkcija simetrični su u odnosu na pravu $y=x$. Ako tačka $(a,b)$ pripada grafiku funkcije $f$, onda tačka $(b,a)$ pripada grafiku funkcije $f^{-1}$.

Kod racionalnih funkcija domen i kodomen moraju biti pažljivo navedeni.

Inverzna funkcija kompozicije

Ako su $f$ i $g$ bijekcije i njihove kompozicije su definisane, onda važi

$$(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}.$$

Redosled se menja zato što pri vraćanju najpre poništavamo dejstvo funkcije $f$, koja je u kompoziciji primenjena poslednja, a zatim dejstvo funkcije $g$:

$$x\xrightarrow{g}g(x)\xrightarrow{f}f(g(x)) \xrightarrow{f^{-1}}g(x)\xrightarrow{g^{-1}}x.$$

Zaista,

$$(g^{-1}\circ f^{-1})\circ(f\circ g) =g^{-1}\circ(f^{-1}\circ f)\circ g =g^{-1}\circ g =\operatorname{id}.$$

Na isti način dobija se i

$$(f\circ g)\circ(g^{-1}\circ f^{-1})=\operatorname{id},$$

pa je $g^{-1}\circ f^{-1}$ zaista inverzna funkcija kompozicije $f\circ g$.