Funkcije

Funkcija je pravilo kojim se svakom elementu jednog skupa pridružuje tačno jedan element drugog skupa.

Neka su $A$ i $B$ neprazni skupovi. Funkcija

f:A\to B

svakom elementu $x\in A$ pridružuje tačno jedan element $y\in B$ . Taj element označavamo sa $f(x)$ i nazivamo slikom elementa $x$ :

y=f(x).

Pri tome razlikujemo tri skupa:

Pojam	Značenje
Domen	Skup svih dozvoljenih ulaznih vrednosti, ovde skup $A$
Kodomen	Skup u koji funkcija preslikava, ovde skup $B$
Skup vrednosti ili slika funkcije	Skup stvarno dobijenih vrednosti $f(x)$

Skup vrednosti označavamo sa

f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.

Domen funkcije označavaćemo i sa $D(f)$ , pa je u ovom slučaju $D(f)=A$ .

Da bi pravilo bilo funkcija iz skupa $A$ u skup $B$ , moraju biti ispunjena dva uslova:

svaki element skupa $A$ ima sliku;
svaki element skupa $A$ ima samo jednu sliku.

Različiti elementi domena mogu imati istu sliku. Takođe, neki elementi kodomena ne moraju biti ničije slike. Nijedna od ove dve pojave ne narušava definiciju funkcije.

Sledeći dijagram paralelno prikazuje dva dozvoljena slučaja.

Sledeći dijagram paralelno prikazuje dva načina na koja pravilo ne ispunjava definiciju funkcije.

Uvek važi $f(A)\subseteq B,$ ali skup vrednosti ne mora biti jednak kodomenu.

Jedan element domena ne sme imati dve različite slike. Ako se u skupu uređenih parova pojavljuju $(x,y_1)$ i $(x,y_2)$ za $y_1\ne y_2$ , dato pravilo nije funkcija.

Sadržaj

Funkcije i načini zadavanja
Kompozicija funkcija
Injektivnost, surjektivnost, bijektivnost i inverzna funkcija

1. Funkcije i načini zadavanja

Funkciju možemo zadati ili prikazati:

skupom uređenih parova
dijagramom preslikavanja
tablično
formulom.

Funkcija kao skup uređenih parova

Funkcija je posebna vrsta relacije. Na konačnim skupovima možemo je zapisati skupom uređenih parova

f=\{(x,f(x))\mid x\in A\}.

Prva koordinata pripada domenu, a druga predstavlja njenu sliku.

Primer: Neka su

A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{a,b,c\}.

Posmatrajmo pravila

\begin{aligned} F_1&=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,b)\},\\ F_2&=\{(1,a),(2,a),(3,c),(4,b)\},\\ F_3&=\{(1,a),(1,b),(2,c),(3,b),(4,b)\}. \end{aligned}

Pravila $F_1$ i $F_2$ jesu funkcije jer se svaki element skupa $A$ pojavljuje tačno jednom kao prva koordinata. Ponavljanje druge koordinate je dozvoljeno.

Pravilo $F_3$ nije funkcija jer element $1$ ima dve različite slike, $a$ i $b$ .

Dijagram preslikavanja

Funkciju $F_1$ možemo predstaviti i dijagramom preslikavanja:

Svaki element levog skupa ima tačno jednu izlaznu strelicu. Elementi $2$ i $4$ imaju istu sliku $b$ , što je kod funkcije dozvoljeno.

Tablični zapis funkcije

Funkciju na konačnim skupovima često zapisujemo u dva reda. U gornjem redu navodimo elemente domena, a ispod svakog elementa njegovu sliku:

f= \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 3&4&2&1 \end{pmatrix}.

Iz ovog zapisa čitamo

f(1)=3, \quad f(2)=4, \quad f(3)=2, \quad f(4)=1.

Ista funkcija zapisana kao skup parova glasi

f=\{(1,3),(2,4),(3,2),(4,1)\}.

Broj funkcija između konačnih skupova

Ako skup $A$ ima $m$ elemenata, a skup $B$ ima $n$ elemenata, svaki element skupa $A$ može nezavisno dobiti bilo koju od $n$ slika. Zato je broj svih funkcija $f:A\to B$ jednak

n^m=|B|^{|A|}.

Primer: Iz skupa $A=\{a,b\}$ u skup $B=\{1,2,3\}$ postoji

3^2=9

različitih funkcija. U suprotnom smeru, iz skupa $B$ u skup $A$ , postoji

2^3=8

različitih funkcija.

Funkcija zadata formulom

Kada je funkcija zadata formulom, njenu vrednost računamo tako što svaki primerak promenljive u formuli zamenimo zadatim argumentom.

Primer: Neka je

f(x)=2x-1.

Tada je

f(0)=2\cdot0-1=-1,

f(2x)=2\cdot(2x)-1=4x-1,

f(x+1)=2(x+1)-1=2x+1.

Kod složenijeg brojčanog argumenta prvo možemo izračunati njegovu vrednost. Na primer,

\frac{2}{3}-\frac{1}{6}+\frac{3}{2}=2,

pa je

f\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{6}+\frac{3}{2}\right)=f(2)=3.

Zapis $f(x+1)$ ne znači $f(x)+1$ . U formulu funkcije umesto svakog $x$ unosimo ceo izraz $x+1$ .

Pri određivanju domena formule isključujemo vrednosti za koje izraz nije definisan. Na primer, funkcija

g(x)=\frac{2x+1}{x-1}

nije definisana za $x=1$ , pa je njen prirodni domen $\mathbb R\setminus\{1\}$ .

2. Kompozicija funkcija

Neka su date funkcije

g:A\to B \qquad\text{i}\qquad f:B\to C.

Kompozicija funkcija $f$ i $g$ jeste funkcija $f\circ g:A\to C$ definisana sa

(f\circ g)(x)=f(g(x)).

Najpre primenjujemo funkciju koja je bliža argumentu, a zatim spoljašnju funkciju. U zapisu $f\circ g$ prvo primenjujemo $g$ , pa onda $f$ .

Kompozicija je definisana kada svaka vrednost funkcije $g$ pripada domenu funkcije $f$ . Preciznije, potrebno je da važi

g(A)\subseteq D(f).

Dva osnovna svojstva kompozicije:

Kompozicija nije komutativna	Kompozicija jeste asocijativna
$f\circ g\ne g\circ f$	$(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)$

Asocijativnost nam dozvoljava da kod višestruke kompozicije izostavimo zagrade. Redosled funkcija ipak ne smemo menjati.

Primer: Neka su

f(x)=2+3x, \qquad g(x)=2+x.

Izračunajmo $f(g(1))$ . Najpre računamo unutrašnju funkciju:

g(1)=3.

Zatim dobijeni rezultat unosimo u funkciju $f$ :

f(g(1))=f(3)=2+3\cdot3=11.

U suprotnom redosledu je

f(1)=5,

pa je

g(f(1))=g(5)=7.

Formula kompozicije

Da bismo odredili formulu kompozicije, celu formulu unutrašnje funkcije unosimo umesto argumenta spoljašnje funkcije.

Primer: Neka su

f(x)=x+1, \qquad g(x)=x^2.

Tada je

(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2)=x^2+1,

dok je

(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1.

Dobili smo

f\circ g\ne g\circ f.

Višestruka kompozicija

Kompoziciju funkcije sa samom sobom označavamo stepenom:

f^2=f\circ f, \qquad f^3=f\circ f\circ f.

Oznaka $f^2$ predstavlja kompoziciju funkcije sa samom sobom:

f^2(x)=f(f(x)),

a ne kvadrat vrednosti funkcije:

f^2(x)\ne(f(x))^2

u opštem slučaju.

Primer: Za funkciju $f(x)=2x+5$ dobijamo

f^2(x)=f(2x+5)=2(2x+5)+5=4x+15.

Za funkciju $g(x)=1+x^2$ važi

g^2(x)=g(1+x^2)=1+(1+x^2)^2.

Kompozicija funkcija na konačnim skupovima

Ako su funkcije zadate tablicom ili skupom parova, kompoziciju računamo prateći slike elemenata, počevši od unutrašnje funkcije.

Primer: Neka je $A=\{a,b,c,d\}$ i neka važi

f(a)=b, \quad f(b)=c, \quad f(c)=d, \quad f(d)=a.

Tada je

f(f(a))=f(b)=c,

f(f(b))=f(c)=d,

f^3(d)=f(f(f(d)))=f(f(a))=f(b)=c.

3. Injektivnost, surjektivnost, bijektivnost i inverzna funkcija

Svojstva funkcije uvek posmatramo u odnosu na njen domen i kodomen. Ista formula sa različitim domenom ili kodomenom može imati različita svojstva.

Injektivna funkcija

Funkcija $f:A\to B$ je injektivna ili 1-1 ako različiti elementi domena imaju različite slike. Formalno,

(\forall x_1,x_2\in A)\; f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2.

Ekvivalentno,

x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2).

Kod funkcije zadate na konačnom skupu proveravamo da li se neka vrednost u redu slika ponavlja. Ako dva različita elementa imaju istu sliku, funkcija nije injektivna.

Primer: Funkcija

f= \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 4&3&2&2 \end{pmatrix}

nije injektivna jer je

f(3)=f(4)=2,

iako je $3\ne4$ .

Surjektivna funkcija

Funkcija $f:A\to B$ je surjektivna ili NA ako je svaki element kodomena slika bar jednog elementa domena:

(\forall y\in B)(\exists x\in A)\;f(x)=y.

To je ekvivalentno uslovu

f(A)=B.

Kod funkcije na konačnom skupu proveravamo da li se svaki element kodomena pojavljuje među vrednostima funkcije.

Primer: Funkcija

f= \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 4&3&2&2 \end{pmatrix}, \qquad f:A\to A, \qquad A=\{1,2,3,4\},

nije surjektivna jer je

f(A)=\{2,3,4\}\ne A.

Element $1$ iz kodomena nije slika nijednog elementa domena.

Bijektivna funkcija

Funkcija je bijektivna ili bijekcija ako je istovremeno injektivna i surjektivna.

Vrsta funkcije	Šta proveravamo
Injektivna	Različiti elementi domena imaju različite slike
Surjektivna	Svaki element kodomena ima bar jedan original
Bijektivna	Svaki element kodomena ima tačno jedan original

Ako su domen i kodomen konačni skupovi sa jednakim brojem elemenata, injektivnost povlači surjektivnost i surjektivnost povlači injektivnost. Ovu činjenicu ne možemo bez dodatnih uslova preneti na beskonačne skupove.

Primer: Funkcija

f= \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 3&4&2&1 \end{pmatrix}

je bijektivna na skupu $A=\{1,2,3,4\}$ . Sve slike su različite, pa je funkcija injektivna. Svaki element skupa $A$ pojavljuje se kao slika, pa je funkcija i surjektivna.

Dokazivanje bijektivnosti funkcije zadate formulom

Injektivnost dokazujemo tako što pretpostavimo $f(x_1)=f(x_2)$ i iz te jednakosti izvedemo $x_1=x_2$ . Surjektivnost dokazujemo tako što za proizvoljno $y$ iz kodomena rešimo jednačinu $f(x)=y$ i pokažemo da dobijeno $x$ pripada domenu.

Primer: Neka je

f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=kx+n, \qquad k\ne0.

Za injektivnost pretpostavimo

f(x_1)=f(x_2).

Tada je

kx_1+n=kx_2+n.

Pošto je $k\ne0$ , sledi $x_1=x_2$ . Funkcija je injektivna.

Za surjektivnost uzmimo proizvoljno $y\in\mathbb R$ i rešimo

kx+n=y.

Dobijamo

x=\frac{y-n}{k}.

Ovaj broj je realan za svako realno $y$ , pa je funkcija surjektivna. Zato je svaka funkcija $f(x)=kx+n$ , $k\ne0$ , bijekcija iz $\mathbb R$ u $\mathbb R$ .

Inverzna funkcija

Inverzna funkcija poništava dejstvo originalne funkcije. Ako funkcija $f$ preslikava $x$ u $y$ , inverzna funkcija vraća $y$ u $x$ :

\boxed{x}\xrightarrow{f}\boxed{y}, \qquad \boxed{y}\xrightarrow{f^{-1}}\boxed{x}.

Zato važi

f^{-1}(f(x))=x \qquad\text{i}\qquad f(f^{-1}(x))=x.

Inverzna funkcija postoji na celom kodomenu samo kada je originalna funkcija bijektivna. Ako je $f:A\to B$ bijekcija, onda je

f^{-1}:B\to A.

Primer: Neka je

f(x)=2x+3.

Funkcija najpre množi argument sa $2$ , a zatim dodaje $3$ :

x\xrightarrow{\cdot2}2x\xrightarrow{+3}2x+3.

Inverzna funkcija mora da primeni suprotne operacije obrnutim redosledom:

2x+3\xrightarrow{-3}2x\xrightarrow{:2}x.

Zato očekujemo

f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.

Do iste formule dolazimo standardnim postupkom. Polazimo od

y=2x+3,

zamenimo mesta promenljivama,

x=2y+3,

i izrazimo $y$ :

y=\frac{x-3}{2}.

Na primer,

f(5)=13, \qquad f^{-1}(13)=\frac{13-3}{2}=5.

Vratili smo se na početnu vrednost.

Postupak za određivanje formule inverzne funkcije je:

napišemo $y=f(x)$ ;
zamenimo mesta promenljivama $x$ i $y$ ;
izrazimo $y$ ;
navedemo domen i kodomen inverzne funkcije;
rezultat proverimo kompozicijom.

Oznaka $f^{-1}(x)$ predstavlja inverznu funkciju, a ne recipročnu vrednost $\frac1{f(x)}$ . Na primer, ako je $f(x)=2x$ , onda je

f^{-1}(x)=\frac{x}{2},

a ne $\frac1{2x}$ .

Ne može svaka funkcija da ima inverznu funkciju na zadatom domenu i kodomenu. Funkcija $f(x)=x^2$ na $\mathbb R$ nije injektivna jer je

f(2)=f(-2)=4.

Iz vrednosti $4$ ne možemo jednoznačno odrediti da li je početna vrednost bila $2$ ili $-2$ .

Kod inverzne funkcije domen i kodomen menjaju mesta. Par $(x,y)$ funkcije $f$ postaje par $(y,x)$ funkcije $f^{-1}$ .

Primer: Ako je

f= \begin{pmatrix} a&b&c&d\\ 2&4&1&3 \end{pmatrix},

onda zamenjujemo mesta originalima i slikama:

f^{-1}= \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ c&a&d&b \end{pmatrix}.

Započni učenje

Privatni časovi

Funkcije

Sadržaj

1. Funkcije i načini zadavanja

Funkcija kao skup uređenih parova

Dijagram preslikavanja

Tablični zapis funkcije

Broj funkcija između konačnih skupova

Funkcija zadata formulom

2. Kompozicija funkcija

Formula kompozicije

Višestruka kompozicija

Kompozicija funkcija na konačnim skupovima

3. Injektivnost, surjektivnost, bijektivnost i inverzna funkcija

Injektivna funkcija

Surjektivna funkcija

Bijektivna funkcija

Dokazivanje bijektivnosti funkcije zadate formulom

Inverzna funkcija

Lekcije iz iste oblasti

Osnovne operacije sa iskazima

Potreban i dovoljan uslov

Kvantifikatori

Skupovi i skupovne operacije

Relacije

Zadaci za vežbanje

Lekcije iz iste oblasti

Osnovne operacije sa iskazima

Potreban i dovoljan uslov

Kvantifikatori

Skupovi i skupovne operacije

Relacije

Zadaci za vežbanje