Potreban i dovoljan uslov opisuju odnos između dva iskaza. Ako iz iskaza sledi iskaz , zapisujemo . Tada je dovoljan uslov za , jer je tačnost iskaza dovoljna da garantuje tačnost iskaza . Istovremeno je potreban uslov za , jer ne može biti tačan ako nije tačan.
Smer implikacije određuje koji je uslov potreban, a koji dovoljan:
| Logički odnos | Zaključak |
|---|---|
| je dovoljan za , a je potreban za | |
| je dovoljan za , a je potreban za | |
| i su jedan drugom potrebni i dovoljni |
Ako važe oba smera implikacije,
iskazi su ekvivalentni:
Tada kažemo da je potreban i dovoljan uslov za , kao i da je potreban i dovoljan uslov za .
Odnos između dva uslova određujemo tako što proverimo obe implikacije. Ako neki smer ne važi, dovoljno je navesti jedan kontraprimer.
Primer: Odredimo odnos uslova i .
Ako je , sigurno je i , pa važi
Zato je dovoljan uslov za , dok je potreban uslov za .
Obrnuta implikacija ne važi. Za imamo , ali nemamo . Prema tome, ova dva uslova nisu ekvivalentna.
Primer: Neka je ceo broj. Uporedimo deljivost sa , i .
Ako je broj deljiv sa , onda je deljiv i sa :
Zato je deljivost sa potreban uslov za deljivost sa . Nije dovoljan, jer je, na primer, broj deljiv sa , ali nije sa .
Ako je broj deljiv sa , onda je sigurno deljiv sa :
Zato je deljivost sa dovoljan uslov za deljivost sa . Nije potreban, jer je broj deljiv sa , ali nije sa .
Primer: Za realne brojeve i važi
Važi i obrnuti smer:
Zato je
Uslov potreban je i dovoljan da bar jedan od brojeva i bude jednak nuli.
Iz ne sledi automatski . Na primer, svaki kvadrat jeste pravougaonik, ali svaki pravougaonik nije kvadrat. Zato je biti kvadrat dovoljan uslov da četvorougao bude pravougaonik, dok je biti pravougaonik potreban uslov da četvorougao bude kvadrat.
Najpre napiši implikaciju koju sigurno možeš da opravdaš. U smeru strelice nalazi se dovoljan uslov, a na njenom kraju potreban uslov. Zatim proveri obrnuti smer pomoću definicije ili kontraprimera.
Dopuniti rečenicu rečima potrebno, dovoljno ili ekvivalentno: je ...... za
Umesto tačkica staviti reči „potrebno (neophodno)“ ili „dovoljno“ tako da se dobije tačna rečenica: Da se nalazimo u Srbiji ...... je da se nalazimo u Beogradu.
Dopuniti rečenicu rečima potrebno, dovoljno ili ekvivalentno: da bi prave bile paralelne, ...... da se ne seku.
Umesto ...... staviti reči „potrebno (neophodno)“ ili „dovoljno“ tako da se dobije tačna rečenica: Da je ceo broj deljiv sa 10 ...... je da je deljiv sa 5, a ...... je da je deljiv sa 100.
Dopuniti rečenicu rečima potrebno, dovoljno ili potrebno i dovoljno: je ...... za i
Dopuniti rečenicu rečima potrebno, dovoljno ili potrebno i dovoljno: je ...... za ili
Umesto tačkica staviti reči „potrebno (neophodno)“ ili „dovoljno“ tako da se dobije tačna rečenica: Da je prirodan broj veći od 100 ...... je da je jednak 1000.
Dopuniti rečenicu rečima potrebno, dovoljno ili ekvivalentno: je ...... za
Umesto tačkica staviti reči „potrebno (neophodno)“ ili „dovoljno“ tako da se dobije tačna rečenica: Da je četvorougao kvadrat ...... je da je romb.
Dopuniti rečenicu rečima potrebno, dovoljno ili ekvivalentno: je ...... za