3057. Potreban i dovoljan uslov

TEKST ZADATKA

Dopuniti rečenicu rečima potrebno, dovoljno ili potrebno i dovoljno: $x^2 = 9$ je ...... za $x = -3$ ili $x = 3 .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo analiziramo uslov $x^2 = 9 .$ Rešavanjem ove kvadratne jednačine dobijamo skup vrednosti za $x .$

x^2 = 9 \implies x = \pm \sqrt{9} \implies x = 3 \text{ ili } x = -3

Označimo iskaz $P$ kao $x^2 = 9$ i iskaz $Q$ kao $x = -3 \lor x = 3 .$ Proveravamo da li važi implikacija $P \implies Q .$

x^2 = 9 \implies (x = 3 \lor x = -3)

Pošto je implikacija $P \implies Q$ tačna, kažemo da je uslov $P$ dovoljan za $Q .$ Zatim proveravamo obrnutu implikaciju $Q \implies P .$

(x = 3 \lor x = -3) \implies x^2 = 9

Pošto je i obrnuta implikacija $Q \implies P$ tačna, uslov $P$ je takođe i potreban za $Q .$ Kada važe oba smera, uslov je potreban i dovoljan.

x^2 = 9 \iff (x = -3 \lor x = 3)

Zaključujemo da je iskaz $x^2 = 9$ ekvivalentan iskazu $x = -3$ ili $x = 3 .$

\text{Rešenje: potrebno i dovoljno}

22.a