Direktna i obrnuta proporcionalnost

Osam litara motornog ulja plaćeno je $192$ dinara. Koliko će se litara dobiti za $240$ dinara?

Napravimo skicu. U prvu kolonu upisujemo litre, u drugu dinare, a poznati i traženi slučaj u dva reda. Za više dinara dobijamo više litara, pa obe veličine rastu zajedno i obe strelice crtamo nagore:

$\Bigg\uparrow\ \begin{matrix} 8 & \ 192 \\ x & \ 240 \end{matrix}\ \Bigg\uparrow$

Strelice su u istom smeru, što potvrđuje direktnu proporcionalnost. Zato razmeru pišemo u istom redosledu (litri prema dinarima):

$8 : 192 = x : 240$

Primenjujemo osnovno svojstvo proporcije (proizvod spoljašnjih jednak je proizvodu unutrašnjih):

$192 \cdot x = 8 \cdot 240$

$192x = 1920$

Delimo sa $192$:

$x = \frac{1920}{192} = 10$

Za $240$ dinara dobija se $10$ litara ulja.

Tri radnika obave posao za $12$ dana. Za koliko dana bi isti posao obavila četiri radnika?

Napravimo skicu. U prvu kolonu upisujemo broj radnika, u drugu broj dana. Broj radnika raste ($3 \to 4$), pa tu strelicu crtamo nagore. Pošto više radnika znači manje dana, broj dana opada, pa drugu strelicu crtamo nadole:

$\Bigg\uparrow\ \begin{matrix} 3 & \ 12 \\ 4 & \ y \end{matrix}\ \Bigg\downarrow$

Strelice su u suprotnom smeru, što znači da je proporcionalnost obrnuta. Kod suprotnih strelica razmeru pišemo tako što okrenemo redosled u koloni sa nepoznatom:

$3 : 4 = y : 12$

Primenjujemo osnovno svojstvo proporcije:

$3 \cdot 12 = 4 \cdot y$

$36 = 4y$

Delimo sa $4$:

$y = 9$

Četiri radnika bi posao obavila za $9$ dana.

Od $100$ kg brašna ispeče se $4000$ kifli od $30$ g. Koliko će se kifli od $50$ g dobiti od $650$ kg brašna?

Upisujemo šemu, gde je $x$ traženi broj kifli:

$\begin{matrix} 100 \text{ kg} & 4000 \text{ kom} & 30 \text{ g} \\ 650 \text{ kg} & x \text{ kom} & 50 \text{ g} \end{matrix}$

Analiziramo veze sa brojem kifli. Broj kifli i količina brašna su direktno proporcionalni, jer više brašna daje više kifli. Broj kifli i masa jedne kifle su obrnuto proporcionalni, jer teže kifle znače manji broj komada od iste količine brašna.

Zato brašno pišemo u istom smeru ($\tfrac{650}{100}$), a masu obrnuto ($\tfrac{30}{50}$):

$\frac{x}{4000} = \frac{650}{100} \cdot \frac{30}{50}$

Skraćujemo razlomke:

$\frac{x}{4000} = \frac{13}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{39}{10}$

Množimo obe strane sa $4000$:

$x = 4000 \cdot \frac{39}{10} = 15600$

Od $650$ kg brašna dobiće se $15600$ kifli mase $50$ g.

Šest prodavaca uradi popis prodavnice za $4$ dana, radeći po $10$ časova dnevno. Koliko prodavaca treba da isti popis urade za $5$ dana, radeći po $12$ časova dnevno?

Upisujemo šemu, gde je $x$ traženi broj prodavaca:

$\begin{matrix} 6 \text{ prodavaca} & 4 \text{ dana} & 10 \text{ časova} \\ x \text{ prodavaca} & 5 \text{ dana} & 12 \text{ časova} \end{matrix}$

Broj prodavaca i broj dana su obrnuto proporcionalni (više dana znači da treba manje prodavaca). Broj prodavaca i časovi dnevno su takođe obrnuto proporcionalni (duži radni dan znači da treba manje prodavaca). Obe veličine su obrnute, pa obe pišemo obrnutim redosledom:

$\frac{x}{6} = \frac{4}{5} \cdot \frac{10}{12}$

Množimo razlomke na desnoj strani:

$\frac{x}{6} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$

Množimo obe strane sa $6$:

$x = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$

Potrebna su $4$ prodavca.

Petnaest radnika završi posao za $24$ časa. Posle $10$ časova rada, tri radnika napuste posao. Koliko još treba da rade preostali radnici da bi završili ostatak?

Prvo gledamo koliko bi vremena trebalo da posao završi početnih $15$ radnika. Pošto je prošlo $10$ od $24$ časa, ostaje:

$24 - 10 = 14 \text{ časova}$

Zatim računamo koliko radnika je ostalo:

$15 - 3 = 12 \text{ radnika}$

Sada imamo jasan obrnuto proporcionalni odnos: isti ostatak posla, $15$ radnika bi ga uradilo za $14$ časova, a tražimo za koliko će ga uraditi $12$ radnika. Proizvod broja radnika i vremena je stalan:

$12 \cdot x = 15 \cdot 14$

$12x = 210$

Delimo sa $12$:

$x = \frac{210}{12} = 17,5 \text{ časova}$

Preostali radnici treba da rade još $17,5$ časova, odnosno $17$ časova i $30$ minuta.

Na karti razmere $1 : 250\,000$ rastojanje između mesta $A$ i $B$ je $2$ cm. Koliko je to rastojanje a) u prirodi, b) na karti razmere $1 : 80\,000$?

a) Razmera $1 : 250\,000$ znači da $1$ cm karte odgovara $250\,000$ cm u prirodi. Postavljamo proporciju, gde je $x$ rastojanje u prirodi u centimetrima:

$1 : 250\,000 = 2 : x$

$x = 2 \cdot 250\,000 = 500\,000 \text{ cm}$

Pretvaramo u kilometre, jer je $1 \text{ km} = 100\,000 \text{ cm}$:

$x = \frac{500\,000}{100\,000} = 5 \text{ km}$

b) Rastojanje u prirodi ostaje isto, $500\,000$ cm. Sada tražimo koliko ono iznosi na karti razmere $1 : 80\,000$. Neka je $y$ rastojanje na novoj karti:

$1 : 80\,000 = y : 500\,000$

$80\,000 \cdot y = 500\,000$

$y = \frac{500\,000}{80\,000} = 6,25 \text{ cm}$