Račun podele i mešanja

Podeliti broj $60$ u razmeri $7 : 3$.

Zbir delova je $7 + 3 = 10$, pa jedan deo iznosi:

$k = \frac{60}{7 + 3} = \frac{60}{10} = 6$

Množimo koeficijent sa brojevima iz razmere:

$x = 7 \cdot 6 = 42, \qquad y = 3 \cdot 6 = 18$

Provera: $42 + 18 = 60$. Delovi su $42$ i $18$.

Podeliti broj $35$ u razmeri $\dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{5}$.

Množimo oba člana sa $\text{NZS}(2, 5) = 10$ da dobijemo cele brojeve:

$\frac{1}{2} : \frac{1}{5} = \left(\frac{1}{2} \cdot 10\right) : \left(\frac{1}{5} \cdot 10\right) = 5 : 2$

Sada delimo $35$ u razmeri $5 : 2$. Zbir delova je $5 + 2 = 7$:

$k = \frac{35}{7} = 5$

$x = 5 \cdot 5 = 25, \qquad y = 2 \cdot 5 = 10$

Delovi su $25$ i $10$.

Podeliti broj $3840$ na delove obrnuto proporcionalne brojevima $7$ i $8$.

Pošto su delovi obrnuto proporcionalni, uzimamo recipročne vrednosti:

$x : y = \frac{1}{7} : \frac{1}{8}$

Množimo sa $\text{NZS}(7, 8) = 56$ da dobijemo cele brojeve:

$x : y = 8 : 7$

Delimo $3840$ u razmeri $8 : 7$. Zbir delova je $15$:

$k = \frac{3840}{15} = 256$

$x = 8 \cdot 256 = 2048, \qquad y = 7 \cdot 256 = 1792$

Delovi su $2048$ i $1792$.

Podeliti $42\,000$ dinara na četiri osobe tako da je $x_1 : x_2 = 2 : 3$, $x_2 : x_3 = 4 : 5$ i $x_3 : x_4 = 6 : 7$.

Prvo spajamo prve dve razmere preko zajedničkog člana $x_2$. Pošto je $\text{NZS}(3, 4) = 12$, dobijamo $x_1 : x_2 : x_3 = 8 : 12 : 15$. Zatim tu razmeru spajamo sa $x_3 : x_4 = 6 : 7$ preko člana $x_3$, gde je $\text{NZS}(15, 6) = 30$:

$x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = 16 : 24 : 30 : 35$

Zbir delova je $16 + 24 + 30 + 35 = 105$, pa je:

$k = \frac{42\,000}{105} = 400$

Množenjem svakog dela sa $k$ dobijamo:

$x_1 = 6\,400, \quad x_2 = 9\,600, \quad x_3 = 12\,000, \quad x_4 = 14\,000$

Litar vina košta $14$ dinara, a litar sode $4$ dinara. U kojoj razmeri treba pomešati vino i sodu da bi litar špricera koštao $10$ dinara?

Neka je $x$ količina vina, a $y$ količina sode. Ukupna cena mora biti ista pre i posle mešanja:

$14x + 4y = 10(x + y)$

Oslobađamo se zagrade:

$14x + 4y = 10x + 10y$

Grupišemo članove:

$14x - 10x = 10y - 4y \implies 4x = 6y$

Izražavamo razmeru i skraćujemo:

$\frac{x}{y} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \implies x : y = 3 : 2$

Do istog rezultata dolazimo i unakrsnim pravilom: vino uzimamo srazmerno $|10 - 4| = 6$, a sodu srazmerno $|14 - 10| = 4$, što daje $6 : 4 = 3 : 2$.

Dve vrste brašna koštaju $0,72$ i $0,64$ dinara po kilogramu. Koliko treba uzeti od svake da bi se dobilo $1600$ kg mešavine po ceni $0,70$ dinara po kilogramu?

Prvo nalazimo razmeru unakrsnim pravilom. Prva vrsta se uzima srazmerno $|0,70 - 0,64| = 0,06$, a druga srazmerno $|0,72 - 0,70| = 0,02$:

$x : y = 0,06 : 0,02 = 3 : 1$

Sada delimo $1600$ kg u razmeri $3 : 1$. Zbir delova je $4$, pa je $k = \dfrac{1600}{4} = 400$:

$x = 3 \cdot 400 = 1200, \qquad y = 1 \cdot 400 = 400$

Treba uzeti $1200$ kg prve i $400$ kg druge vrste brašna.

U izvesnu količinu $80\%$ alkohola dodato je $12$ litara vode i dobijen je $60\%$ alkohol. Kolika je bila prvobitna količina alkohola?

Neka je $x$ prvobitna količina u litrima. Količina čistog alkohola pre dodavanja vode je $0,80x$. Dodavanjem vode ukupna količina raste na $x + 12$, ali količina čistog alkohola ostaje ista, pa je sada $0,60(x + 12)$. Izjednačavamo:

$0,80x = 0,60(x + 12)$

Množimo sa $100$ da uklonimo decimale:

$80x = 60x + 720$

Grupišemo članove i rešavamo:

$20x = 720 \implies x = 36$

Prvobitna količina alkohola bila je $36$ litara.