Razmere i proporcije

Razmera nam govori kakav je odnos između dve veličine.

Zapisujemo je pomoću dve tačke, $a : b$ , i čitamo „ $a$ prema $b$ “. Razmeru $a : b$ možemo zapisati i kao razlomak:

$a : b = \frac{a}{b}$

Na primer, ako je odnos dečaka i devojčica u grupi $3 : 2$ , to znači da na svaka $3$ dečaka dolaze $2$ devojčice. Ne znamo još koliko ukupno ima dece, ali znamo kako su njihove količine međusobno povezane. Razmera nam, dakle, omogućava da opišemo odnos između veličina bez potrebe da znamo njihove tačne vrednosti.

Kada su dve razmere jednake, dobijamo proporciju:

$a : b = c : d$

To možemo zapisati i kao:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Osnovni pojmovi

Proporcija $a : b = c : d$ ima četiri člana. Prvi i poslednji ( $a$ i $d$ ) su spoljašnji članovi, a druga dva ( $b$ i $c$ ) unutrašnji članovi.

Osnovno svojstvo proporcije: proizvod spoljašnjih članova jednak je proizvodu unutrašnjih članova.

$a : b = c : d \iff a \cdot d = b \cdot c$

Pošto je $a : b = c : d$ isto što i $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ , ovo je zapravo unakrsno množenje razlomaka: brojilac jednog razlomka množiš imeniocem drugog, pa ta dva proizvoda izjednačiš.

Razmera znači delove

Kada kažemo da je $x : y = 3 : 2$ , možemo to zamisliti kao $5$ jednakih delova. Zašto baš $5$ ? Zato što je $3 + 2 = 5$ . Tih pet delova raspoređujemo između veličina $x$ i $y$ tako da $x$ zauzima $3$ dela, a $y$ zauzima $2$ dela, pri čemu su svi delovi jednake veličine.

Razmera $3 : 2$ ne znači da je $x = 3$ i $y = 2$ . Ona samo govori koliko jednakih delova pripada svakoj veličini. Stvarna veličina jednog dela može biti različita.

Ako jedan deo ima vrednost $k$ , onda je $x = 3k$ i $y = 2k$ . Na primer, ako je jedan deo jednak $5$ , dobijamo $x = 15$ i $y = 10$ . Ako je jedan deo jednak $10$ , dobijamo $x = 30$ i $y = 20$ . U oba slučaja razmera je ista:

$15 : 10 = 30 : 20 = 3 : 2$

Pošto ne znamo kolika je veličina jednog dela, označićemo je sa $k$ . Zato pišemo $x = 3k$ i $y = 2k$ .

Broj $k$ zovemo koeficijent proporcionalnosti.

Ova ideja rešava svaki zadatak u kome je zadata razmera i još neki uslov: izraziš sve preko $k$ , uvrstiš u uslov i središ po $k$ .

Primeri

Svi primeri koriste isto osnovno svojstvo, pa se svode na linearnu jednačinu.

Razmere sa razlomcima i mešovitim brojevima

Ako se pojave mešoviti brojevi, prvo ih pretvori u neprave razlomke, pa tek onda primeni osnovno svojstvo.

Odrediti $x$ iz proporcije:

$\frac{7}{2} : \frac{1}{3} = x : \frac{1}{6}$

Primenjujemo osnovno svojstvo. Spoljašnji članovi su $\dfrac{7}{2}$ i $\dfrac{1}{6}$ , unutrašnji $\dfrac{1}{3}$ i $x$ :

$\frac{7}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \cdot x$

Množimo razlomke na levoj strani:

$\frac{7}{12} = \frac{1}{3}x$

Izolujemo $x$ deljenjem sa $\dfrac{1}{3}$ , a to je isto što i množenje sa $3$ :

$x = \frac{7}{12} \cdot 3 = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$

Ako je sa jedne strane samo jedna vrednost, na primer $\dfrac{5}{6} : x = \dfrac{1}{3}$ , čitaj je kao razmeru $c : 1$ . Dakle desna strana je $\dfrac{1}{3} : 1$ , pa dobijaš $\dfrac{5}{6} \cdot 1 = x \cdot \dfrac{1}{3}$ .

Nepoznata u izrazu

Kada $x$ stoji unutar izraza, najčešće u imeniocu, pojavljuje se dodatni korak koji se lako preskoči, a od koga zavisi tačnost rešenja: uslov definisanosti.

Ako je nepoznata u imeniocu, imenilac ne sme biti nula. Zato pre rešavanja odredi koje vrednosti $x$ nisu dozvoljene, a na kraju proveri da dobijeno rešenje nije upravo neka od tih zabranjenih vrednosti.

Izračunati $x$ ako je:

$\frac{2x - 1}{x - 3} = \frac{2}{3}$

Prvo određujemo uslov definisanosti. Imenilac ne sme biti nula:

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

Primenjujemo osnovno svojstvo:

$3 \cdot (2x - 1) = 2 \cdot (x - 3)$

Oslobađamo se zagrada:

$6x - 3 = 2x - 6$

Prebacujemo članove sa $x$ na levu, a slobodne članove na desnu stranu (uz promenu znaka):

$6x - 2x = -6 + 3$

Sređujemo i delimo sa $4$ :

$4x = -3 \implies x = -\frac{3}{4}$

Provera: pošto je $-\dfrac{3}{4} \neq 3$ , rešenje pripada domenu i prihvatljivo je.

Ako je sa jedne strane ceo broj, zapiši ga kao razlomak sa imeniocem $1$ . Na primer, $\dfrac{3x-1}{x+2} = 4$ postaje $\dfrac{3x-1}{x+2} = \dfrac{4}{1}$ , pa dalje ide kao obična proporcija. Ako se $x$ nalazi u oba imenioca, postavi i proveri oba uslova definisanosti.

Razmera i dodatni uslov

Kada je zadata razmera dve nepoznate i još jedan uslov, koristimo ideju delova: svaki deo vredi $k$ , pa nepoznate izrazimo preko $k$ .

Odrediti $x$ i $y$ ako je $x : y = 2 : 3$ i $x + y = 10$ .

Izražavamo nepoznate preko $k$ :

$x = 2k, \quad y = 3k$

Uvrštavamo u uslov $x + y = 10$ :

$2k + 3k = 10 \implies 5k = 10 \implies k = 2$

Vraćamo $k$ u izraze:

$x = 2 \cdot 2 = 4, \quad y = 3 \cdot 2 = 6$

Konačno rešenje je $(x, y) = (4, 6)$ .

Produžena proporcija

Produžena proporcija povezuje tri ili više veličina odjednom, na primer $x : y : z = 4 : 6 : 9$ . Zadaci su dve vrste: da se od prostih proporcija sastavi produžena, ili da se iz produžene proporcije i jednog uslova nađu konkretne vrednosti.

Za spajanje je ključan zajednički član, veličina koja se pojavljuje u obe proporcije. Da bi se dve proporcije spojile, zajednički član mora u obe imati isti broj delova. Zato njegove vrednosti izjednačimo pomoću najmanjeg zajedničkog sadržaoca (NZS), baš kao kod svođenja razlomaka na zajednički imenilac.

Napisati produženu proporciju $x : y : z$ ako je $x : y = 2 : 3$ i $y : z = 2 : 3$ .

Zajednički član je $y$ . U prvoj proporciji mu odgovara $3$ , u drugoj $2$ , a $\text{NZS}(3, 2) = 6$ . Prvu množimo sa $2$ , drugu sa $3$ :

$x : y = (2 \cdot 2) : (3 \cdot 2) = 4 : 6$

$y : z = (2 \cdot 3) : (3 \cdot 3) = 6 : 9$

Sada $y$ u obe odgovara broju $6$ , pa ih spajamo:

$x : y : z = 4 : 6 : 9$

Zajednički član ne mora biti na istom mestu u obe proporcije. Ako treba, obrni razmeru, jer $y : x = 2 : 5$ znači isto što i $x : y = 5 : 2$ . Sa četiri člana postupak se samo ponavlja: prvo spojiš prve dve proporcije, pa dobijenu spojiš sa sledećom preko novog zajedničkog člana.

Kada je zadata produžena proporcija i jedan uslov, koristimo istu metodu koeficijenta $k$ kao kod dve nepoznate, samo sada sa tri.

Izračunati $x$ , $y$ i $z$ ako je $x : y : z = 3 : 2 : 1$ i $x + y + z = 72$ .

Izražavamo nepoznate preko $k$ :

$x = 3k, \quad y = 2k, \quad z = k$

Uvrštavamo u uslov $x + y + z = 72$ :

$3k + 2k + k = 72 \implies 6k = 72 \implies k = 12$

Vraćamo $k$ u izraze:

$x = 3 \cdot 12 = 36, \quad y = 2 \cdot 12 = 24, \quad z = 12$

Konačno rešenje je $(x, y, z) = (36, 24, 12)$ .

Izračunati $x$ , $y$ i $z$ ako je $x : y : z = 2 : 4 : 3$ i $x + 2y - 3z = 6$ .

Izražavamo nepoznate preko $k$ :

$x = 2k, \quad y = 4k, \quad z = 3k$

Uvrštavamo u uslov, pazeći na koeficijente i znakove:

$2k + 2 \cdot (4k) - 3 \cdot (3k) = 6$

Množimo i sređujemo:

$2k + 8k - 9k = 6 \implies k = 6$

Vraćamo $k$ :

$x = 12, \quad y = 24, \quad z = 18$

Konačno rešenje je $(x, y, z) = (12, 24, 18)$ .

Razmere i proporcije

Sadržaj

Osnovni pojmovi

Razmera znači delove

Primeri

Razmere sa razlomcima i mešovitim brojevima

Nepoznata u izrazu

Razmera i dodatni uslov

Produžena proporcija

Lekcije iz iste oblasti

Direktna i obrnuta proporcionalnost

Procentni račun

Kamatni račun

Zadaci za vežbanje