3554. Razmere i proporcije

TEKST ZADATKA

Koristeći proporcije odrediti $x$ i $y$ ako je data razmera $x : y = 2a : b$ i uslov $x + y = a + b .$

REŠENJE ZADATKA

Na osnovu osobina proporcije, znamo da se svaka razmera može izraziti preko koeficijenta proporcionalnosti $k .$ Iz date proporcije $x : y = 2a : b$ sledi:

\frac{x}{2a} = \frac{y}{b} = k

Izražavamo nepoznate $x$ i $y$ preko koeficijenta $k :$

\begin{cases} x = 2ak \\ y = bk \end{cases}

Zamenjujemo dobijene izraze za $x$ i $y$ u drugi dati uslov $x + y = a + b :$

2ak + bk = a + b

Izvlačimo zajednički faktor $k$ ispred zagrade kako bismo rešili jednačinu po $k :$

k(2a + b) = a + b

Računamo vrednost koeficijenta $k :$

k = \frac{a + b}{2a + b}

Sada vraćamo vrednost $k$ u izraze za $x$ i $y$ kako bismo dobili konačna rešenja:

x = 2a \cdot \frac{a + b}{2a + b} = \frac{2a(a + b)}{2a + b}

Računamo vrednost za $y :$

y = b \cdot \frac{a + b}{2a + b} = \frac{b(a + b)}{2a + b}

238.v