3647. Račun podele i mešanja

TEKST ZADATKA

Fabrika za proizvodnju voćnih sokova rasporedila je $136\,200\text{ kg}$ voća na četiri pogona, tako da prvi pogon dobije $15\%$ manje od trećeg, četvrti pogon dobije $10\%$ više od trećeg, a treći $20\%$ više od drugog. Koliko će kilograma voća preraditi svaki pogon?

REŠENJE ZADATKA

Neka su količine voća koje dobijaju pogoni redom $x_1, x_2, x_3$ i $x_4 .$ Ukupna količina voća je $136\,200\text{ kg} ,$ pa važi:

x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 136\,200

Prema uslovima zadatka, prvi pogon dobija $15\%$ manje od trećeg, a četvrti $10\%$ više od trećeg. To možemo zapisati kao:

\begin{aligned} x_1 &= x_3 - 0.15 x_3 = 0.85 x_3 \\ x_4 &= x_3 + 0.10 x_3 = 1.10 x_3 \end{aligned}

Treći pogon dobija $20\%$ više od drugog, što znači da je $x_3 = x_2 + 0.20 x_2 = 1.20 x_2 .$ Iz ovoga izražavamo $x_2$ preko $x_3 :$

x_2 = \frac{x_3}{1.20} = \frac{x_3}{\frac{6}{5}} = \frac{5}{6} x_3

Sada možemo postaviti produženu proporciju $x_1 : x_2 : x_3 : x_4$ zamenom dobijenih izraza:

x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = 0.85 x_3 : \frac{5}{6} x_3 : x_3 : 1.10 x_3

Deljenjem sa $x_3$ i prevođenjem decimalnih brojeva u razlomke, dobijamo:

x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = \frac{85}{100} : \frac{5}{6} : 1 : \frac{110}{100} = \frac{17}{20} : \frac{5}{6} : 1 : \frac{11}{10}

Da bismo dobili celobrojnu razmeru, množimo sve članove sa najmanjim zajedničkim sadržaocem za imenioce $20, 6, 1$ i $10 ,$ a to je $60 :$

x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = \left(\frac{17}{20} \cdot 60\right) : \left(\frac{5}{6} \cdot 60\right) : (1 \cdot 60) : \left(\frac{11}{10} \cdot 60\right) = 51 : 50 : 60 : 66

Primenom osobina proporcije, uvodimo koeficijent proporcionalnosti $k :$

\begin{aligned} x_1 &= 51k \\ x_2 &= 50k \\ x_3 &= 60k \\ x_4 &= 66k \end{aligned}

Zamenom u jednačinu za ukupnu količinu voća računamo $k :$

\begin{aligned} 51k + 50k + 60k + 66k &= 136\,200 \\ 227k &= 136\,200 \\ k &= \frac{136\,200}{227} \\ k &= 600 \end{aligned}

Na kraju, računamo količinu voća za svaki pogon pojedinačno:

\begin{aligned} x_1 &= 51 \cdot 600 = 30\,600\text{ kg} \\ x_2 &= 50 \cdot 600 = 30\,000\text{ kg} \\ x_3 &= 60 \cdot 600 = 36\,000\text{ kg} \\ x_4 &= 66 \cdot 600 = 39\,600\text{ kg} \end{aligned}

276