3647.

276

TEKST ZADATKA

Fabrika za proizvodnju voćnih sokova rasporedila je 136 200 kg 136\,200\text{ kg} voća na četiri pogona, tako da prvi pogon dobije 15% 15\% manje od trećeg, četvrti pogon dobije 10% 10\% više od trećeg, a treći 20% 20\% više od drugog. Koliko će kilograma voća preraditi svaki pogon?

REŠENJE ZADATKA

Neka su količine voća koje dobijaju pogoni redom x1,x2,x3 x_1, x_2, x_3 i x4. x_4 . Ukupna količina voća je 136 200 kg, 136\,200\text{ kg} , pa važi:

x1+x2+x3+x4=136 200x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 136\,200

Prema uslovima zadatka, prvi pogon dobija 15% 15\% manje od trećeg, a četvrti 10% 10\% više od trećeg. To možemo zapisati kao:

x1=x3−0.15x3=0.85x3x4=x3+0.10x3=1.10x3\begin{aligned} x_1 &= x_3 - 0.15 x_3 = 0.85 x_3 \\ x_4 &= x_3 + 0.10 x_3 = 1.10 x_3 \end{aligned}

Treći pogon dobija 20% 20\% više od drugog, što znači da je x3=x2+0.20x2=1.20x2. x_3 = x_2 + 0.20 x_2 = 1.20 x_2 . Iz ovoga izražavamo x2 x_2 preko x3: x_3 :

x2=x31.20=x365=56x3x_2 = \frac{x_3}{1.20} = \frac{x_3}{\frac{6}{5}} = \frac{5}{6} x_3

Sada možemo postaviti produženu proporciju x1:x2:x3:x4 x_1 : x_2 : x_3 : x_4 zamenom dobijenih izraza:

x1:x2:x3:x4=0.85x3:56x3:x3:1.10x3x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = 0.85 x_3 : \frac{5}{6} x_3 : x_3 : 1.10 x_3

Deljenjem sa x3 x_3 i prevođenjem decimalnih brojeva u razlomke, dobijamo:

x1:x2:x3:x4=85100:56:1:110100=1720:56:1:1110x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = \frac{85}{100} : \frac{5}{6} : 1 : \frac{110}{100} = \frac{17}{20} : \frac{5}{6} : 1 : \frac{11}{10}

Da bismo dobili celobrojnu razmeru, množimo sve članove sa najmanjim zajedničkim sadržaocem za imenioce 20,6,1 20, 6, 1 i 10, 10 , a to je 60: 60 :

x1:x2:x3:x4=(1720⋅60):(56⋅60):(1⋅60):(1110⋅60)=51:50:60:66x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = \left(\frac{17}{20} \cdot 60\right) : \left(\frac{5}{6} \cdot 60\right) : (1 \cdot 60) : \left(\frac{11}{10} \cdot 60\right) = 51 : 50 : 60 : 66

Primenom osobina proporcije, uvodimo koeficijent proporcionalnosti k: k :

x1=51kx2=50kx3=60kx4=66k\begin{aligned} x_1 &= 51k \\ x_2 &= 50k \\ x_3 &= 60k \\ x_4 &= 66k \end{aligned}

Zamenom u jednačinu za ukupnu količinu voća računamo k: k :

51k+50k+60k+66k=136 200227k=136 200k=136 200227k=600\begin{aligned} 51k + 50k + 60k + 66k &= 136\,200 \\ 227k &= 136\,200 \\ k &= \frac{136\,200}{227} \\ k &= 600 \end{aligned}

Na kraju, računamo količinu voća za svaki pogon pojedinačno:

x1=51⋅600=30 600 kgx2=50⋅600=30 000 kgx3=60⋅600=36 000 kgx4=66⋅600=39 600 kg\begin{aligned} x_1 &= 51 \cdot 600 = 30\,600\text{ kg} \\ x_2 &= 50 \cdot 600 = 30\,000\text{ kg} \\ x_3 &= 60 \cdot 600 = 36\,000\text{ kg} \\ x_4 &= 66 \cdot 600 = 39\,600\text{ kg} \end{aligned}