Podela 1235 dinara na četiri osobe po razmerama

Neka su $A ,$ $B ,$ $C$ i $D$ iznosi koje dobijaju odgovarajuće osobe. Zbir svih iznosa je jednak ukupnom iznosu od $1235$ dinara.

A + B + C + D = 1235

Zapišimo date odnose (razmere) između iznosa koje osobe dobijaju:

\begin{aligned} C : A &= 5 : 2 \\ B : D &= 1 : 3 \\ A : D &= 3 : 4 \end{aligned}

Da bismo rešili zadatak, potrebno je da sve iznose svedemo na jedinstvenu produženu proporciju $A : B : C : D .$ Počećemo od povezivanja $C ,$ $A$ i $D$ preko zajedničkog člana $A .$

Imamo razmere $C : A = 5 : 2$ i $A : D = 3 : 4 .$ Da bismo ih spojili, potrebno je da broj koji odgovara $A$ bude isti u obe razmere. Najmanji zajednički sadržalac za brojeve $2$ i $3$ je $6 .$

Proširujemo prvu razmeru sa $3 ,$ a drugu sa $2 :$

\begin{aligned} C : A &= (5 \cdot 3) : (2 \cdot 3) = 15 : 6 \\ A : D &= (3 \cdot 2) : (4 \cdot 2) = 6 : 8 \end{aligned}

Sada možemo da zapišemo produženu proporciju za $C ,$ $A$ i $D :$

C : A : D = 15 : 6 : 8

Sada treba da uključimo i $B$ koristeći razmeru $B : D = 1 : 3 .$ U produženoj proporciji $D$ odgovara broju $8 ,$ dok u novoj razmeri odgovara broju $3 .$ Najmanji zajednički sadržalac za $8$ i $3$ je $24 .$

Proširujemo produženu proporciju sa $3 ,$ a razmeru $B : D$ sa $8 :$

\begin{aligned} C : A : D &= (15 \cdot 3) : (6 \cdot 3) : (8 \cdot 3) = 45 : 18 : 24 \\ B : D &= (1 \cdot 8) : (3 \cdot 8) = 8 : 24 \end{aligned}

Sada možemo da zapišemo jedinstvenu produženu proporciju za sve četiri osobe (poređano po abecedi):

A : B : C : D = 18 : 8 : 45 : 24

Uvodimo koeficijent proporcionalnosti $k .$ Tada iznose možemo izraziti kao:

\begin{aligned} A &= 18k \\ B &= 8k \\ C &= 45k \\ D &= 24k \end{aligned}

Zamenjujemo ove izraze u početnu jednačinu za ukupan iznos:

18k + 8k + 45k + 24k = 1235

Sabiramo koeficijente uz $k$ i računamo vrednost koeficijenta proporcionalnosti:

\begin{aligned} 95k &= 1235 \\ k &= \frac{1235}{95} \\ k &= 13 \end{aligned}

Sada računamo koliko je novca dobila svaka osoba zamenom vrednosti $k = 13 :$

\begin{aligned} A &= 18 \cdot 13 = 234 \\ B &= 8 \cdot 13 = 104 \\ C &= 45 \cdot 13 = 585 \\ D &= 24 \cdot 13 = 312 \end{aligned}

Osoba $A$ dobija $234$ dinara, osoba $B$ dobija $104$ dinara, osoba $C$ dobija $585$ dinara, a osoba $D$ dobija $312$ dinara.

Započni učenje

Online časovi

275

Beleške