Složena i inverzna funkcija

Funkcija $f:A\to B$ svakom elementu $x\in A$ dodeljuje tačno jedan element $f(x)\in B$ . Funkcije se mogu primenjivati jedna za drugom: rezultat jedne funkcije postaje argument druge. Tako nastaje složena funkcija. Ponekad se dejstvo funkcije može i „poništiti", tj. iz vrednosti $f(x)$ vratiti polazni broj $x$ . Funkcija koja to radi naziva se inverzna funkcija.

1. Složena funkcija

Ako je $f:A\to B$ i $g:B\to C$ , složena funkcija $g\circ f:A\to C$ definisana je sa

(g\circ f)(x)=g(f(x)).

Prvo se izračuna unutrašnja funkcija $f(x)$ , a zatim se dobijeni broj ubaci u spoljašnju funkciju $g$ . U praksi: u formulu funkcije $g$ umesto $x$ upiši ceo izraz $f(x)$ .

Redosled je bitan. Za $f(x)=x^2$ i $g(x)=x+1$ je $g(f(x))=x^2+1$ , a $f(g(x))=(x+1)^2$ . U opštem slučaju je $g\circ f\ne f\circ g$ .
Slaganje je asocijativno: $(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)$ , sve dok redosled funkcija ostaje isti.
Domen složene funkcije čine oni $x$ za koje je $f(x)$ definisano i za koje $f(x)$ pripada domenu funkcije $g$ .

Primer: Odrediti složenu funkciju $y=f(g(t))$ ako je $x=g(t)=t^2+4$ i $y=f(x)=\sqrt{1-x}$ .

Spoljašnja funkcija prihvata samo $x\le1$ , jer mora biti $1-x\ge0$ . Unutrašnja funkcija uvek daje $x=t^2+4\ge4$ . Zato je

y=\sqrt{1-(t^2+4)}=\sqrt{-t^2-3},

a izraz pod korenom je uvek negativan. Složena funkcija nije definisana ni za jedno realno $t$ , pa je njen domen prazan skup.

Primer: Za $f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ , $x\ne-1$ , odrediti $f(f(x))$ .

Da bi $f(f(x))$ postojalo, mora i $f(x)\ne-1$ . Iz $\frac{1}{x+1}=-1$ sledi $x=-2$ , pa izbacujemo i $x=-2$ . U formulu umesto $x$ upisujemo $\frac{1}{x+1}$ :

f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x+1}+1}=\frac{1}{\frac{x+2}{x+1}}=\frac{x+1}{x+2},\qquad x\notin\{-2,-1\}.

Kod funkcija zadatih po delovima prvo izračunaj unutrašnju funkciju. Zatim proveri u koji deo spoljašnje funkcije pada dobijeni broj i tek onda primeni odgovarajuće pravilo.

Određivanje funkcije iz složene funkcije

Ako je zadato $f(g(x))$ , a traži se $f(x)$ , izraz u zagradi se označi novim slovom $t=g(x)$ . Iz te veze se izrazi $x$ preko $t$ i zameni u desnu stranu. Na kraju se slovo $t$ preimenuje u $x$ , jer ime promenljive nije bitno.

Primer: Odrediti $f(x)$ ako je $f(x+1)=3x^2+2x+5$ .

Smena $t=x+1$ daje $x=t-1$ , pa je

f(t)=3(t-1)^2+2(t-1)+5=3t^2-6t+3+2t-2+5=3t^2-4t+6.

Dakle, $f(x)=3x^2-4x+6$ .

Primer: Odrediti $f(x)$ ako je $f\left(x+\dfrac1x\right)=x^2+\dfrac{1}{x^2}$ , $x\ne0$ .

Iz smene $t=x+\frac1x$ teško je izraziti $x$ . Zato desnu stranu zapisujemo pomoću izraza $x+\frac1x$ . Kvadrat zbira daje $\left(x+\frac1x\right)^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}$ , pa je

f\left(x+\frac1x\right)=\left(x+\frac1x\right)^2-2\implies f(t)=t^2-2.

Izraz $x+\frac1x$ je najmanje $2$ za $x>0$ i najviše $-2$ za $x<0$ . Zato je $f(x)=x^2-2$ za $x\in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$ .

2. Inverzna funkcija

Funkcija $f:A\to B$ ima inverznu funkciju $f^{-1}:B\to A$ ako je bijekcija, tj. ako svaki $y\in B$ dostiže tačno jednom. Tada je

f^{-1}(y)=x\iff f(x)=y,

a inverzna funkcija „poništava" polaznu:

f^{-1}(f(x))=x\ \text{ za svako } x\in A,\qquad f(f^{-1}(y))=y\ \text{ za svako } y\in B.

Postupak nalaženja inverzne funkcije:

odredi domen $A$ i skup vrednosti $B$ funkcije;
reši jednačinu $f(x)=y$ po nepoznatoj $x$ . Ako za svako $y\in B$ postoji tačno jedno rešenje $x\in A$ , funkcija je bijekcija, a to rešenje je $f^{-1}(y)$ ;
preimenuj $y$ u $x$ .

Grafici funkcija $f$ i $f^{-1}$ simetrični su u odnosu na pravu $y=x$ . Ako tačka $(a,b)$ leži na grafiku funkcije $f$ , onda tačka $(b,a)$ leži na grafiku funkcije $f^{-1}$ .

Oznaka $f^{-1}(x)$ ne znači $\frac{1}{f(x)}$ . Na primer, za $f(x)=x^3$ je $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$ , a ne $\frac{1}{x^3}$ .

Primer: Naći inverznu funkciju funkcije $f(x)=\dfrac{x-3}{x+2}$ .

Domen je $x\ne-2$ . Pošto je $f(x)=1-\frac{5}{x+2}$ , a $\frac{5}{x+2}$ nikad nije nula, vrednost $1$ se nikad ne dostiže. Posmatramo $f:\mathbf{R}\setminus\{-2\}\to\mathbf{R}\setminus\{1\}$ .

Rešavamo jednačinu $\frac{x-3}{x+2}=y$ za $y\ne1$ :

x-3=y(x+2)\implies x-yx=2y+3\implies x=\frac{2y+3}{1-y}.

Rešenje je jedinstveno, pa je funkcija bijekcija i

f^{-1}(x)=\frac{2x+3}{1-x},\qquad x\ne1.

Kada inverzna funkcija ne postoji

Ako dva različita broja imaju istu vrednost, $f(x_1)=f(x_2)$ za $x_1\ne x_2$ , inverzna funkcija ne postoji. Ona bi tu vrednost morala da vrati i u $x_1$ i u $x_2$ . Zato inverznu nemaju parne funkcije na simetričnom domenu, a ni periodične funkcije. Na primer, za $y=\frac{\sin x+6}{\sin x-4}$ je $y(0)=y(\pi)=-\frac32$ , pa ona nema inverznu funkciju.

Strogo monotona funkcija nikad ne dostiže istu vrednost dvaput. Zato se inverzna funkcija često dobija sužavanjem domena na interval na kome je funkcija strogo monotona.

Primer: Naći inverznu funkciju funkcije $f(x)=x^4$ , $x<0$ .

Na celom $\mathbf{R}$ inverzna ne postoji, jer je $(-2)^4=2^4=16$ . Za $x<0$ funkcija strogo opada, a vrednosti su pozitivne, pa posmatramo $f:(-\infty,0)\to(0,+\infty)$ .

Jednačina $x^4=y$ , za $y>0$ , ima rešenja $\sqrt[4]{y}$ i $-\sqrt[4]{y}$ , ali samo drugo je negativno. Dakle,

f^{-1}(x)=-\sqrt[4]{x},\qquad x>0.

Primer: Naći inverznu funkciju funkcije $f(x)=\log_2\dfrac{2+x}{2-x}$ .

Argument logaritma je pozitivan za $-2<x<2$ , pa je domen $(-2,2)$ . Rešavamo jednačinu $\log_2\frac{2+x}{2-x}=y$ za proizvoljno realno $y$ . Po definiciji logaritma je

\frac{2+x}{2-x}=2^y\implies 2+x=2^y(2-x)\implies x(1+2^y)=2(2^y-1)\implies x=\frac{2(2^y-1)}{2^y+1}.

Za svako $y$ rešenje postoji, jedinstveno je i pripada intervalu $(-2,2)$ . Zato je $f:(-2,2)\to\mathbf{R}$ bijekcija i

f^{-1}(x)=\frac{2(2^x-1)}{2^x+1},\qquad x\in\mathbf{R}.

Započni učenje

Online časovi