5145. Složena funkcija i inverzna funkcija

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ i $g:B\to C ,$ složena funkcija $g\circ f$ definisana je sa $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ za svako $x\in A .$ Jednostavno rečeno: prvo izračunamo unutrašnju funkciju $f(x) ,$ a zatim dobijeni rezultat ubacimo u spoljašnju funkciju $g .$ Zato je složena funkcija definisana samo za one $x$ za koje je $f(x)$ definisano i vrednost $f(x)$ pripada oblasti definisanosti funkcije $g .$

Izraz $f(f(x))$ je složena funkcija $f\circ f :$ funkciju $f$ primenimo dva puta zaredom. Prvo izračunamo $f(x) ,$ a zatim taj rezultat ponovo ubacimo u $f .$ Slično, $f(f(f(x)))$ znači da $f$ primenimo tri puta, tj. rezultat $f(f(x))$ još jednom ubacimo u $f .$

Funkcija $f$ je definisana za $x\neq-1 .$ Da bi $f(f(x))$ postojalo, broj $f(x)$ takođe ne sme biti $-1 .$ Proverimo kada se to dešava:

\frac{1}{x+1}=-1 \iff 1=-(x+1) \iff x=-2

Dakle, za $f(f(x))$ moraju se izbaciti brojevi $-1$ i $-2 .$ Sada računamo: u formulu $\frac{1}{x+1}$ umesto $x$ upisujemo $\frac{1}{x+1} ,$ a zatim imenilac svodimo na zajednički imenilac $x+1 :$

f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x+1}+1}=\frac{1}{\frac{1+(x+1)}{x+1}}=\frac{1}{\frac{x+2}{x+1}}=\frac{x+1}{x+2}

U poslednjem koraku smo iskoristili da je $1$ podeljeno razlomkom jednako obrnutom razlomku. Za treću primenu mora i $f(f(x))\neq-1 :$

\frac{x+1}{x+2}=-1 \iff x+1=-x-2 \iff x=-\frac32

Sada u formulu $\frac{1}{x+1}$ umesto $x$ upisujemo $\frac{x+1}{x+2} :$

f(f(f(x)))=\frac{1}{\frac{x+1}{x+2}+1}=\frac{1}{\frac{(x+1)+(x+2)}{x+2}}=\frac{1}{\frac{2x+3}{x+2}}=\frac{x+2}{2x+3}

Provera za $x=0 :$ $f(0)=1 ,$ $f(1)=\frac12 ,$ $f\left(\frac12\right)=\frac{1}{\frac32}=\frac23 .$ Formule daju $\frac{0+1}{0+2}=\frac12$ i $\frac{0+2}{0+3}=\frac23 .$ Slaže se.

Rešenje: $f(f(x))=\frac{x+1}{x+2}$ za $x\notin\{-2,-1\} ,$ i $f(f(f(x)))=\frac{x+2}{2x+3}$ za $x\notin\left\{-2,-\frac32,-1\right\} .$

Započni učenje

Online časovi

105.v

Beleške