5148. Složena funkcija i inverzna funkcija

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ i $g:B\to C ,$ složena funkcija $g\circ f$ definisana je sa $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ za svako $x\in A .$ Jednostavno rečeno: prvo izračunamo unutrašnju funkciju $f(x) ,$ a zatim dobijeni rezultat ubacimo u spoljašnju funkciju $g .$ Zato je složena funkcija definisana samo za one $x$ za koje je $f(x)$ definisano i vrednost $f(x)$ pripada oblasti definisanosti funkcije $g .$

Sve funkcije posmatramo za $x\neq1 .$ Primetimo da $h(x)$ nikad nije jednako $1 :$ iz $\frac{x}{x-1}=1$ bi sledilo $x=x-1 ,$ tj. $0=-1 ,$ što je nemoguće. Zato $h(x)$ uvek smemo da ubacimo u $g$ (koja ne prihvata broj $1$ ).

Takođe će nam trebati ovaj izraz. Svodimo na zajednički imenilac $x-1 :$

1-h(x)=1-\frac{x}{x-1}=\frac{x-1-x}{x-1}=\frac{-1}{x-1}=\frac{1}{1-x}

Prva jednakost, $g\circ h=f .$ Funkcija $g$ računa $\frac{1}{1-\text{broj}} ,$ pa u nju ubacujemo $h(x)$ i koristimo prethodni rezultat. Deljenje razlomkom $\frac{1}{1-x}$ je množenje sa $1-x :$

(g\circ h)(x)=\frac{1}{1-h(x)}=\frac{1}{\frac{1}{1-x}}=1-x=f(x)

Druga jednakost, $f\circ h=g .$ Funkcija $f$ računa $1-\text{broj} ,$ a to smo već izračunali:

(f\circ h)(x)=1-h(x)=\frac{1}{1-x}=g(x)

Treća jednakost. Najpre $f\circ g :$ od $1$ oduzimamo $g(x)$ i svodimo na zajednički imenilac. Dobija se tačno funkcija $h :$

(f\circ g)(x)=1-\frac{1}{1-x}=\frac{1-x-1}{1-x}=\frac{-x}{1-x}=\frac{x}{x-1}=h(x)

Zato je $(f\circ g)\circ h=h\circ h .$ Funkcija $h$ računa $\frac{\text{broj}}{\text{broj}-1} .$ Za broj $h(x)$ imenilac je $h(x)-1=\frac{x-(x-1)}{x-1}=\frac{1}{x-1} ,$ pa je:

\big((f\circ g)\circ h\big)(x)=\frac{h(x)}{h(x)-1}=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{1}{x-1}}=x

Četvrta jednakost. Najpre $g\circ f :$ u $g$ ubacujemo $f(x)=1-x$ (to je moguće kada je $f(x)\neq1 ,$ tj. $x\neq0$ ):

(g\circ f)(x)=\frac{1}{1-(1-x)}=\frac{1}{x}

Sada u $g\circ f$ ubacujemo $h(x)$ (potrebno je $h(x)\neq0 ,$ tj. ponovo $x\neq0$ ). Recipročna vrednost razlomka je obrnuti razlomak:

\big((g\circ f)\circ h\big)(x)=\frac{1}{h(x)}=\frac{x-1}{x}

Provera za $x=2 :$ $h(2)=\frac{2}{1}=2 .$ Tada je $g(h(2))=g(2)=\frac{1}{1-2}=-1 ,$ a i $f(2)=1-2=-1 .$ Zatim $f(h(2))=f(2)=-1 ,$ a i $g(2)=-1 .$ Dalje $(f\circ g)(h(2))=h(h(2))=h(2)=2 ,$ što je početni broj. Na kraju $(g\circ f)(h(2))=\frac{1}{h(2)}=\frac12 ,$ a i $\frac{2-1}{2}=\frac12 .$ Sve se slaže.

Time su sve četiri jednakosti dokazane (poslednja za $x\notin\{0,1\} ,$ jer za $x=0$ izraz nije definisan).

Započni učenje

Online časovi

108

Beleške