5149. Složena funkcija i inverzna funkcija

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ i $g:B\to C ,$ složena funkcija $g\circ f$ definisana je sa $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ za svako $x\in A .$ Jednostavno rečeno: prvo izračunamo unutrašnju funkciju $f(x) ,$ a zatim dobijeni rezultat ubacimo u spoljašnju funkciju $g .$ Zato je složena funkcija definisana samo za one $x$ za koje je $f(x)$ definisano i vrednost $f(x)$ pripada oblasti definisanosti funkcije $g .$

Kod funkcija zadatih „po delovima” uvek prvo izračunamo unutrašnju funkciju, zatim proverimo u koji deo spoljašnje funkcije pada dobijeni broj, i tek onda primenimo odgovarajuće pravilo. Zato posmatramo posebno slučajeve za $x$ iz svakog dela.

Prvo opišimo funkcije rečima. Funkcija $f$ negativne brojeve pretvara u $0 ,$ a nenegativne ostavlja kakvi jesu (npr. $f(-3)=0 ,$ $f(5)=5$ ). Funkcija $g$ negativne brojeve pretvara u $0 ,$ a nenegativan broj $x$ u $-x^2$ (npr. $g(-3)=0 ,$ $g(2)=-4$ ). Važno: $f(0)=0$ i $g(0)=0 .$

$f\circ f :$ Za $x<0$ je $f(x)=0 ,$ pa $f(f(x))=f(0)=0 .$ Za $x\geq0$ je $f(x)=x\geq0 ,$ pa $f(f(x))=f(x)=x :$

(f\circ f)(x)=\begin{cases}0, & x<0\\ x, & x\geq0\end{cases}

Dakle, $f\circ f=f :$ kada smo negativne brojeve već pretvorili u nulu, druga primena ništa ne menja.

$f\circ g :$ Za $x<0$ je $g(x)=0 ,$ pa $f(0)=0 .$ Za $x\geq0$ je $g(x)=-x^2\leq0 .$ Ako je $x>0 ,$ broj $-x^2$ je negativan, pa ga $f$ pretvara u $0 .$ Ako je $x=0 ,$ onda je $g(0)=0$ i $f(0)=0 .$ U svakom slučaju rezultat je nula:

(f\circ g)(x)=0, \quad x\in\mathbb{R}

$g\circ f :$ Za $x<0$ je $f(x)=0 ,$ pa $g(0)=-0^2=0 .$ Za $x\geq0$ je $f(x)=x\geq0 ,$ pa se primenjuje drugi deo funkcije $g :$ $g(x)=-x^2 :$

(g\circ f)(x)=\begin{cases}0, & x<0\\ -x^2, & x\geq0\end{cases}

Dakle, $g\circ f=g .$

$g\circ g :$ Za $x<0$ je $g(x)=0 ,$ pa $g(0)=0 .$ Za $x>0$ je $g(x)=-x^2<0 ,$ pa ga $g$ pretvara u $0 .$ Za $x=0$ je $g(g(0))=g(0)=0 :$

(g\circ g)(x)=0, \quad x\in\mathbb{R}

Provera na brojevima: za $x=2$ je $f(f(2))=f(2)=2 ,$ $f(g(2))=f(-4)=0 ,$ $g(f(2))=g(2)=-4 ,$ $g(g(2))=g(-4)=0 .$ Slaže se sa dobijenim formulama.

Rešenje: $f\circ f=f ,$ $g\circ f=g ,$ a $f\circ g$ i $g\circ g$ su konstantne funkcije jednake nuli za svako realno $x .$

Započni učenje

Online časovi

109.a

Beleške