5150. Složena funkcija i inverzna funkcija

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ i $g:B\to C ,$ složena funkcija $g\circ f$ definisana je sa $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ za svako $x\in A .$ Jednostavno rečeno: prvo izračunamo unutrašnju funkciju $f(x) ,$ a zatim dobijeni rezultat ubacimo u spoljašnju funkciju $g .$ Zato je složena funkcija definisana samo za one $x$ za koje je $f(x)$ definisano i vrednost $f(x)$ pripada oblasti definisanosti funkcije $g .$

Kod funkcija zadatih „po delovima” uvek prvo izračunamo unutrašnju funkciju, zatim proverimo u koji deo spoljašnje funkcije pada dobijeni broj, i tek onda primenimo odgovarajuće pravilo. Zato posmatramo posebno slučajeve za $x$ iz svakog dela.

Opišimo funkcije rečima. Funkcija $f$ broj koji nije pozitivan kvadrira, a pozitivan pretvara u $0$ (npr. $f(-3)=9 ,$ $f(5)=0$ ). Funkcija $g$ broj koji nije pozitivan ostavlja kakav jeste, a pozitivan pretvara u $0$ (npr. $g(-3)=-3 ,$ $g(5)=0$ ). Važno: $f(0)=0$ i $g(0)=0 .$

$f\circ f :$ Za $x<0$ je $f(x)=x^2>0 ,$ a pozitivan broj $f$ pretvara u $0 .$ Za $x=0$ je $f(f(0))=f(0)=0 .$ Za $x>0$ je $f(x)=0 ,$ pa $f(0)=0 .$ U svakom slučaju:

(f\circ f)(x)=0, \quad x\in\mathbb{R}

$f\circ g :$ Za $x\leq0$ je $g(x)=x\leq0 ,$ pa se primenjuje prvi deo funkcije $f :$ $f(x)=x^2 .$ Za $x>0$ je $g(x)=0 ,$ pa $f(0)=0 :$

(f\circ g)(x)=\begin{cases}x^2, & x\leq0\\ 0, & x>0\end{cases}

Dakle, $f\circ g=f .$

$g\circ f :$ Za $x<0$ je $f(x)=x^2>0 ,$ pa ga $g$ pretvara u $0 .$ Za $x=0$ je $g(f(0))=g(0)=0 .$ Za $x>0$ je $f(x)=0 ,$ pa $g(0)=0 :$

(g\circ f)(x)=0, \quad x\in\mathbb{R}

$g\circ g :$ Za $x\leq0$ je $g(x)=x\leq0 ,$ pa $g(x)=x .$ Za $x>0$ je $g(x)=0 ,$ pa $g(0)=0 :$

(g\circ g)(x)=\begin{cases}x, & x\leq0\\ 0, & x>0\end{cases}

Dakle, $g\circ g=g .$ Provera za $x=-2 :$ $f(f(-2))=f(4)=0 ,$ $f(g(-2))=f(-2)=4 ,$ $g(f(-2))=g(4)=0 ,$ $g(g(-2))=g(-2)=-2 .$ Slaže se.

Rešenje: $f\circ f$ i $g\circ f$ su konstantne funkcije jednake nuli, $f\circ g=f$ i $g\circ g=g .$

Započni učenje

Online časovi

109.b

Beleške