5147. Složena funkcija i inverzna funkcija

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ i $g:B\to C ,$ složena funkcija $g\circ f$ definisana je sa $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ za svako $x\in A .$ Jednostavno rečeno: prvo izračunamo unutrašnju funkciju $f(x) ,$ a zatim dobijeni rezultat ubacimo u spoljašnju funkciju $g .$ Zato je složena funkcija definisana samo za one $x$ za koje je $f(x)$ definisano i vrednost $f(x)$ pripada oblasti definisanosti funkcije $g .$

Sve tri funkcije su definisane za svako realno $x ,$ pa ograničenja nema. Funkcija $f$ oduzima $3 ,$ funkcija $g$ množi sa $-2 ,$ a funkcija $h$ množi sa $4$ i oduzima $11 .$

Prvo izraz $(f\circ g)\circ h .$ Najpre odredimo $f\circ g :$ u $f$ ubacimo $g(x)=-2x :$

(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(-2x)=-2x-3

Sada u dobijenu funkciju $f\circ g$ ubacujemo $h(x)=4x-11$ (umesto $x$ pišemo $4x-11$ ):

\big((f\circ g)\circ h\big)(x)=(f\circ g)(4x-11)=-2(4x-11)-3=-8x+22-3=-8x+19

Sada izraz $f\circ(g\circ h) .$ Najpre odredimo $g\circ h :$ u $g$ ubacimo $h(x) :$

(g\circ h)(x)=g(h(x))=-2(4x-11)=-8x+22

Zatim taj rezultat ubacujemo u $f ,$ tj. od njega oduzimamo $3 :$

\big(f\circ(g\circ h)\big)(x)=f(-8x+22)=-8x+22-3=-8x+19

Provera za $x=3 :$ $h(3)=1 ,$ $g(1)=-2 ,$ $f(-2)=-5 ,$ a formula daje $-8\cdot3+19=-5 .$ Slaže se.

Rešenje: $\big((f\circ g)\circ h\big)(x)=\big(f\circ(g\circ h)\big)(x)=-8x+19 .$ Oba izraza su jednaka, što nije slučajno: slaganje funkcija je asocijativno, tj. nije bitno koje dve funkcije prve složimo, sve dok redosled $f,g,h$ ostaje isti.

Započni učenje

Online časovi

107

Beleške